ГЛАВА 22. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

§ 22.1. Статистическая линеаризация нелинейностей

Предварительно заметим, что по уравнениям, выведенным в § 19.2 и в § 21.2, можно исследовать также медленно меняющиеся случайные процессы в автоматической системе, сопровождающиеся соответственно автоколебаниями и вынужденными колебаниями. При этом целесообразно функцию смещения подвергнуть обычной линеаризации (19.70) и затем целиком применить линейную теорию случайных процессов к уравнению (19.73) или (21.44). Нелинейная же колебательная часть решения определяется с помощью гармонической линеаризации так же, как и в § 19.2 и в § 21.2. При этом находятся сглаженная характеристика (функция смещения) и зависимости амплитуды и частоты колебательной составляющей от величины медленно меняющейся составляющей. В этом случае предполагается, что внешние воздействия в (21.44) являются медленно меняющимися случайными процессами с нормальным законом распределения (см. подробнее § 10.1 в книге [100]).

Рис. 22.1.

Для решения других задач при случайных воздействиях удобно бывает применять так называемую статистическую линеаризацию нелинейностей, разработанную И. Е. Казаковым [49]. Сущность ее заключается в следующем.

Для оценки динамической точности автоматических систем при случайных воздействиях будем определять два первых вероятностных момента случайных процессов: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение). Последнее эквивалентно определению спектральной плотности или корреляционной функции.

Если нелинейная система описывается дифференциальным уравнением

то схематически можно себе представить прохождение сигналов, как показано на рис. 22.1. Проходя через линейную часть, случайный процесс , заданный двумя первыми вероятностными моментами, преобразуется в переменную х, которую тоже можно определить двумя первыми моментами. Однако определение дальнейшего преобразования случайного процесса в нелинейном звене существенно связано с высшими вероятностными моментами (подобно тому как в главе 18 приходилось иметь дело с высшими гармониками). Ввиду замкнутости контура системы это обстоятельство накладывает отпечаток и на все процессы в данной системе. Поэтому точное решение задачи в большинстве случаев оказывается недоступным.

Достаточно хорошее для целей инженерных расчетов первое приближение применительно к рассматриваемым классам систем, обладающих свойством фильтра (см. § 18.2), дает пренебрежение высшими моментами, т. е. замена нелинейного звена эквивалентным линейным, которое одинаково с данным нелинейным преобразует два первых вероятностных момента: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение). Это и называется статистической линеаризацией нелинейности.

Эта операция по общей идее (но не по конкретному содержанию) аналогична тому, как в главе 19 нелинейное звено при помощи гармонической линеаризации заменялось эквивалентным линейным, которое одинаково с данным нелинейным преобразует постоянную (или медленно меняющуюся) составляющую и первую гармонику колебательной составляющей, т. е. принимались во внимание два первых члена ряда Фурье и отбрасывались все высшие гармоники.

Итак, представим переменную х под знаком нелинейности в виде

где математическое ожидание (среднее значение), которое является обычной (регулярной) функцией времени, и — случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием (центрированная случайная функция времени). Это представление аналогично тому, которое употреблялось в главе 19 при гармонической линеаризации, но оно имеет совсем другой, вероятностный смысл. Далее, и переменную также представим в виде

где — математическое ожидание (среднее значение) нелинейной функции которое является регулярной составляющей, — эквивалентный коэффициент усиления случайной составляющей (центрированной). Это выражение по форме тоже аналогично тому, которое применялось в главе 19, но имеет иное конкретное содержание.

Величина регулярной составляющей определяется, следовательно, по известной формуле для математического ожидания. В случае однозначной нелинейной функции эта формула дает

где М — обозначение операции взятия математического ожидания, — дифференциальный зайон распределения случайной составляющей, например нормальный закон (рис. 11.10):

Для нелинейности общего вида будет более сложное выражение:

которое для петлевых нелинейностей при симметричном законе распределения (в том числе и нормальном) упрощается. Например, для

нелинейности, показанной на рис. 22.2, будет

Величину эквивалентного коэффициента усиления случайной составляющей в формуле (22.3) рекомендуется определять одним из следующих двух способов.

Рис. 22.2.

Первый способ исходит непосредственно из величин среднеквадратичных отклонений и переменной х и нелинейной функции а именно;

что в случае однозначной нелинейности дает

Для общего случая и в случае петлевой нелинейности получаются более сложные выражения, которые можно получить для обобщив (22.9) по тому же образцу, как обобщены выражения (22.6) и (22.7) по сравнению с (22.4).

Второй способ заключается в определении коэффициента из условия минимума математического ожидания квадрата разности истинной нелинейной функции и ее заменяющей (22.3), т. е. минимума среднеквадратичного отклонения. Записав это условие

получим

где — значение взаимной корреляционной функции переменных и х при Отсюда в случае однозначной нелинейности находим

Аналогично предыдущему легко получить также выражение коэффициента для общего случая и для петлевой нелинейности

Второй способ определения коэффициента приводит к более простым расчетным формулам. С этой точки зрения его использование предпочтительнее. По точности же оба способа примерно равноценны и соответствуют

общей степени приближенности всего метода в целом. Замечено, что во многих случаях, когда первый из этих способов дает завышенные значения корреляционной функции нелинейного процесса по сравнению с точными, второй дает заниженные значения. Поэтому часто может получиться более хорошее приближение, если в качестве величины взять среднее арифметическое из двух; (22.8) и (22.10).

Важно иметь в виду, что величины и взаимосвязаны тем, что каждая из них зависит от обеих рассматриваемых характеристик случайного процесса; (входящих в закон распределения Сам факт наличия этих зависимостей и их взаимосвязь и позволяют, несмотря на линеаризацию задачи, уловить существенно нелинейные особенности случайных процессов, подобно тому как в прежних главах зависимость величин от всех трех неизвестных (или по крайней мере от первых двух из них) и взаимосвязь этих величин позволяли исследовать существенно нелинейные особенности регулярных процессов во времени методом гармонической линеаризации.

Рис. 22.3.

Приведем выражения величин и их графики для некоторых типовых нелинейностей, составленные по формулам (22.4), (22.9) и (22.11) при условии нормального закона распределения (22.5) случайной переменной х (при других законах распределения величины и имели бы другие выражения).

1. Идеальная релейная характеристика

Идеальная релейная характеристика (рис. 22.3, а). Из формулы (22.4) находим

где обозначено

(числовые значения этого интеграла вероятностей имеются в некоторых сборниках математических таблиц). Зависимость величины от отношения показана графически на рис. 22.3, б.

По формулам (22.9) и (22.11) находим соответственно

где

Зависимости показаны на рис. 22.3, в.

2. Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности (рис. 22.4, а).

По формуле (22.4) с учетом обозначения (22.12) находим

где

Функция изображена графически на рис. 22.4, б в зависимости от Их при разных значениях

Рис. 22.4.

По формулам (22.9) и (22.11) получаем выражения типа (22.13), где

что изображено графически на рис. 22.4, в и

3. Петлевая релейная характеристика общего вида (рис. 22.5, а).

По формулам (22.7) находим

где кроме (22.14) и (22.12) введены, еще обозначения

Зависимость для случая показана на рис. 22.5, б.

(см. скан)

Далее получаем выражения типа (22.13), где

Эти функции для случая изображены на рис. 22.5, в и

4. Характеристика типа насыщения (рис. 22.6, а).

По формуле (22.4) с учетом обозначений (22.12) и (22.14) находим

что показано в зависимости от при разных на рис. 22.6, б. По формулам же (22.9) и (22.11) находим выражение (22.13), где

что изображено на рис. 22.6, в и г.