§ 13.3. Передаточные функции

Связь между входной и выходной величинами в системе с переменными параметрами определяется интегральной зависимостью (13.9):

Предположим, что к входному сигналу можно применить преобразование Фурье (7.15). Тогда его можно представить в виде (7.16):

Объединяя записанные выше две формулы, получаем

Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным Это отражает тот факт, что входное воздействие может начаться в любой момент времени при в том числе и при Меняя в (13.56) порядок интегрирования и умножая правую часть на получаем

Здесь введена частотная передаточная функция системы с переменными параметрами

Ее можно представить также в следующем виде:

где — реверс-смещение, а — сопряженная функция веса (13.7).

Величина, находящаяся в правой части (13.57) под знаком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времени Поэтому вместо (13.57) можно записать

Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с переменными параметрами можно представить как изображение Фурье входной величины, умноженное на частотную передаточную функцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключается в том, что выражение (13.60) записано для некоторого фиксированного момента времени . В связи с этим в частотную передаточную функцию входит параметр вследствие чего она называется параметрической частотной передаточной функцией.

Переходя в формуле (13.57) к преобразованию Лапласа, получим

где параметрическая передаточная функция

Отыскание параметрической передаточной функции.

Использование интегральной связи (13.62) для нахождения параметрической передаточной функции является нерациональным, так как требует знания функции веса, что усложняет задачу. Более удобно находить параметрическую передаточную функцию непосредственно из исходного дифференциального уравнения (13.1). Положим в нем Тогда решение этого уравнения будет соответствовать функции веса Подставим эти значения

Умножим левую и правую части (13.63) на и проинтегрируем по в пределах от до

На основании (13.62) величины, находящиеся в квадратных скобках, можно представить в следующем виде:

В результате вместо (13.64) можно записать

Продифференцировав левую часть и сократив на получим

Здесь введены обозначения:

Таким образом, параметрическая передаточная функция может быть получена в результате решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (13.66).

Заметим, что в системах с постоянными параметрами передаточная функция не зависит от времени и уравнение (13.66) приобретает вид

Передаточная функция в случае постоянства параметров будет

В случае переменных параметров уравнение (13.66) может быть решено методом последовательных приближений [118]. Для этого представим его в виде

Будем искать решение в виде ряда

Первое приближение можно получить, положив в (13.70):

Это будет передаточная функция системы с «замороженными» коэффициентами.

Для вычисления первой поправки подставим полученное из (13.73) первое приближение в правую часть (13.70). Тогда получим для первой поправки

Формула для поправки будет иметь вид

Таким образом, последующий член ряда (13.72) получается посредством дифференцирования предыдущего члена в соответствии с (13.71) и подстановки его в (13.75).

Ряд (13.72) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты исходного дифференциального уравнения (13.1).

По найденной функции может быть получена параметрическая частотная передаточная функция подстановкой

Использование параметрических передаточных функций.

В соответствии с формулой (13.61) изображение Лапласа выходной величины системы с переменными параметрами можно найти как произведение изображения воздействия на параметрическую передаточную функцию:

Это дает возможность находить переходные процессы в системе с переменными параметрами посредством использования преобразования Лапласа (или Карсона — Хевисайда). Для этой цели по формуле (13.76) отыскивается изображение выходной величины, а затем делается переход к оригиналу

Для этой цели могут использоваться существующие таблицы изображений Лапласа функций времени. Так, например, пусть изображение выходной величины равно

Полагая в этом выражении время фиксированным параметром, по таблице (см., например, табл. 7.2) находим

Если изображение представляет собой сложную дробно-рациональную функцию, то можно использовать теорему разложения (см. § 7.4). При отсутствии нулевых корней знаменателя изображения

аналогично формуле (7.37) получаем

При наличии одного нулевого корня знаменателя изображения

аналогично формуле (7.39) получаем

В формулах (13.78) и (13.80) корни знаменателя предполагаются некратными.

Для построения переходного процесса может также использоваться вещественная частотная характеристика (см. § 7.5). Для общего случая воздействия произвольной формы из (13.57), аналогично проделанному в § 7.5, можно получить расчетную формулу, являющуюся обобщением формулы (7.52):

где — вещественная часть частотного изображения искомой функции полученного подстановкой в преобразование Карсона — Хевисайда

В частном случае, когда входное воздействие представляет собой единичную ступенчатую функцию, из (13.57), аналогично проделанному в § 7.5 получается расчетная формула, являющаяся обобщением формулы (7.53) для переходной функции рассматриваемой динамической системы:

где — вещественная часть параметрической частотной передаточной функции (13.58).

Рис. 13.7.

Построение переходного процесса проводится, аналогично изложенному в § 7.5, по -функциям. Разница будет заключаться в том, что построение переходного процесса будет справедливым только для того момента времени который вошел в качестве параметра в параметрическую передаточную функцию. Поэтому необходимо построить серию кривых (рис. 13.7) для различных фиксированных моментов времени и т. д., а затем через точки, соответствующие этим значениям времени, провести плавную кривую.

Указанное обстоятельство значительно увеличивает объем вычислительной работы по сравнению с построением кривой переходного процесса в системе с постоянными параметрами.