§ 11.6. Канонические разложения случайных функций
Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть представлена в виде
где 
— некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. 
Если математическое ожидание величины х равно нулю, то и математическое ожидание случайной функции 
Корреляционная функция в этом случае
где дисперсия 
Рассмотрим случайную функцию 
которая может быть представлена в виде суммы математического ожидания 
и элементарных случайных функций;
Здесь 
— случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием.
Представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций называется каноническим разложением. Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разложения, а функции 
— координатных функций.
При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. п.). Так, например, производная от (11.88) будет
Аналогичным образом интегрирование (11.88) дает
Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [108].
Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция
Здесь 
дисперсии коэффициентов канонического разложения. Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции.
Для стационарной случайной функции, заданной в интервале — 
разность 
изменяется в интервале 
и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье;
где 
— целые числа.
Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайной функции
где 
- взаимно некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями 
. В разложении (11.92) должны отсутствовать нечетные гармоники. Тогда ряд (11.93) будет содержать только четные гармоники, что соответствует периоду 
(интервалу 
).
Если разность между двумя соседними гармониками 
к нулю, что соответствует 
то формулу (11.92) можно представить в виде
Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5)
являющаяся изображением Фурье корреляционной функции 
.
