§ 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулирования

Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу.

Предположим вначале, что чувствительный элемент отсоединен от регулируемого объекта и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.

Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент к регулируемому объекту, определяется выражением

где х - рассогласование на выходе чувствительного элемента, - передаточная функция цепи регулирования.

Регулируемая величина может быть найдена из выражения

где — передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, — передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию

Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет просуммировать члены вида где — возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению.

Рис. 5.1.

Подставляя (5.7) в (5.8), получаем

Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы

где представляют собой некоторые полиномы от р.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:

где — комплексная величина.

Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) — (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину с ошибкой в разомкнутой системе:

где - алгебраизированный оператор дифференцирования.

Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде

Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания:

Решая (5.9) и (5.14) совместно, получаем для регулируемой величины

и для ошибки

Выражение

называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий:

Выражение

называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве ыулю возмущающих воздействий:

Как и ранее, формулы (5.15), (5.16), (5.18) и (5.20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и управляющего воздействия при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:

а передаточную функцию по ошибке — как отношение изображении ошибки и управляющего воздействия :

также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений.

Из формул (5.15) и (5.16) видно, что введение автоматического регулирования «уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р. В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), а также (5.5) и (5.15) видно, что полиномы в выражении (5.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе. Полином

называется характеристическим.

Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы:

Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15) или (5. 16):

так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю.

Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.

Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев (см. ниже, § 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями: по передаточной функции замкнутой системы (5.17)

по передаточной функции для ошибки (5.19)

по дифференциальному уравнению для ошибки (5.2) или по дифференциальному уравнению для регулируемой величины (5.5)