§ 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулирования
Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу.
Предположим вначале, что чувствительный элемент отсоединен от регулируемого объекта и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.
Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент к регулируемому объекту, определяется выражением
где х - рассогласование на выходе чувствительного элемента, - передаточная функция цепи регулирования.
Регулируемая величина может быть найдена из выражения
где — передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, — передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию
Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет просуммировать члены вида где — возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению.
Рис. 5.1.
Подставляя (5.7) в (5.8), получаем
Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы
где представляют собой некоторые полиномы от р.
Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:
где — комплексная величина.
Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) — (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину с ошибкой в разомкнутой системе:
где - алгебраизированный оператор дифференцирования.
Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде
Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.
Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания:
Решая (5.9) и (5.14) совместно, получаем для регулируемой величины
и для ошибки
Выражение
называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий:
Выражение
называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве ыулю возмущающих воздействий:
Как и ранее, формулы (5.15), (5.16), (5.18) и (5.20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и управляющего воздействия при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:
а передаточную функцию по ошибке — как отношение изображении ошибки и управляющего воздействия :
также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений.
Из формул (5.15) и (5.16) видно, что введение автоматического регулирования «уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р. В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), а также (5.5) и (5.15) видно, что полиномы в выражении (5.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе. Полином
называется характеристическим.
Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы:
Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15) или (5. 16):
так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю.
Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.
Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев (см. ниже, § 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями: по передаточной функции замкнутой системы (5.17)
по передаточной функции для ошибки (5.19)
по дифференциальному уравнению для ошибки (5.2) или по дифференциальному уравнению для регулируемой величины (5.5)