§ 7.4. Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона—Хевиеайда

Как известно, периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:

где к — порядок гармоники, а - основная круговая частота.

Этот ряд может быть представлен также в комплексной форме:

где комплексный коэффициент определяется выражением

Таким образом, периодическая функция времени может быть представлена в виде совокупности дискретных гармоник с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным основной частоте .

Непериодическая функция времени может рассматриваться как периодическая с периодом, стремящимся к бесконечности. В этом случае вместо приведенных формул получаются два интегральных уравнения Фурье, связывающих оригинал, т. е. функцию времени , и ее частотное изображение которое называется также преобразованием Фурье:

В отличие от разложения в ряд Фурье здесь получается разложение в непрерывный спектр частот с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным бесконечно малой величине

Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числу несобственных интегралов и может применяться для так называемых абсолютно интегрируемых функций времени, т. е. для функций времени, удовлетворяющих неравенству

От этого недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями:

причем функция времени должна быть равна нулю при . В отличие от преобразования Фурье здесь изображение функции времени является функцией не частоты, а некоторой комплексной величины Вещественная часть ее представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходимости, которая выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство

Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в регулировании, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, т. е. . Поэтому для этих функций преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье, если произвести подстановку .

Уравнения (7.17) и (7.18) часто записывают в сокращенном виде:

Иногда вместо буквы применяется буква , т. е. изображение Лапласа записывается в виде , но в этом случае представляет собой не оператор дифференцирования, а комплексную величину:

В связи с этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны в виде

В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используется преобразование Карсона — Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа дополнительным умножением на величину :

Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсона — Хевисайда существует соотношение

Преобразование Карсона — Хевисайда нашло распространение наряду с преобразованием Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первым для решения дифференциальных уравнений был использован так называемый операторный метод Хевисайда, который, по сути дела, использовал преобразования (7.21) и (7.22).

Кроме того, удобство преобразования Карсона — Хевисайда заключается в том, что изображение постоянной величины А, точнее, ступенчатой функции равно самой постоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (7.21). Поэтому во многих случаях преобразование Карсона — Хевисайда сливается с операторной записью дифференциальных уравнений

Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.

В табл. 7.2 приведены основные формулы и свойства изображений Лапласа и Карсона — Хевисайда. Изображение Фурье может быть получено изображения Лапласа подстановкой .

Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала даны для случая нулевых начальных условий.

Для ненулевых начальных условий из (7.17) можно получить изображение по Лапласу производной оригинала заменено на :

где — изображение самой функции.

Аналогично для второй производной

и для производной любого порядка

При нулевых начальных условиях

или

т. е. операция дифференцирования оригинала заменяется для изображения умножением на комплексную величину .

Таблица 7.2. Преобразования Лапласа и Карсона—Хевисайда (см. скан)

Аналогично для преобразования Карсона — Хевисайда

При нулевых начальных условиях

Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции времени:

где представляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31), при

Для нулевых начальных условий выражение (7.31) упрощется:

т. е. интегрированию по времени оригинала соответствует деление на изображение на комплексную величину р.

Рассмотрим теперь использование изображений для решения дифференциального уравнения

на примере преобразования Лапласа.

Перейдем в левой и правой частях (7.32) к изображениям Лапласа.

При этом оператор дифференцирования в полиномах заменяется на комплексную величину а вместо оригиналов появляются их изображения . В результате получаем

где обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия. Отсюда находится изображение искомой величины:

Последнее выражение требует некоторых пояснений в связи с различными возможными трактовками понятия начальных условий. Интегральное преобразование Лапласа (7.17) следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене на ):

Это дает возможность введения двух несколько отличающихся понятий преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона — Хевисайда).

1. Преобразование Лапласа по начальным условиям справа.

Если в выражении (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь положительным (а ), то в изображении производной (7.26) следует брать начальные условия при т. е. для момента времени, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий. В этом случае

Для использования последней формулы необходимо знание начальных условий справа, что оказывается не всегда удобным и требует расчета по формулам § 7.3. Заметим, что даже в тех случаях, когда до приложения

воздействия система находилась в покое, начальные условия справа могут быть ненулевыми и полином как правило, отличен от нуля.

Кроме того, если рассматриваемая функция времени имеет при особенности типа -функции, то это обстоятельство не будет учтено в найденном изображении. Так, например, изображение самой -функции и ее производных оказывается при этом равным нулю:

2. Преобразование Лапласа по начальным условиям слева.

Если в формуле (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным то в выражении для изображения производной (7.26) следует брать начальные условия при т. е. для момента времени, который будет непосредственно предшествовать моменту приложения воздействия. Такие начальные условия называются также предначальными. В этом случае

Расчет получается более простым, так как предначальные условия должны быть известны всегда и никаких дополнительных операций здесь не требуется. В частном случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, предначальные условия нулевые и выражение (7.33) приобретает вид

Только это выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции как отношение изображений входной и выходной величин при нулевых предначальных условиях.

Кроме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным позволяет учитывать наличие в рассматриваемой функции при особенностей типа -функции. Так, например, изображение единичной -функции оказывается равным единице;

а изображение ее производной -го порядка

Влияние особенностей и ее первых производных, где — порядок полинома (р), на изображение в этом случае и проявляется в виде автоматического учета начальных условий, которые будут иметь место справа (при в самом изображении без введения дополнительного члена при нулевых предначальных условиях или без его изменения при ненулевых предначальных условиях. В связи с этим -функция иногда называется также функцией начальных условий.

В дальнейшем изложении под преобразованием Лапласа будет пониматься именно этот случай

Зная изображение искомой величины в виде (7.33) или (7.35), можно найти оригинал Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32).

Для отыскания оригинала по его изображению можно пользоваться таблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разложения, которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов

то при отсутствии нулевых корней знаменателя

где — некратные корни знаменателя (7.36).

Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет нулевой корень , то изображение надо представить в виде

Тогда оригинал может быть найден по формуле

Аналогичным образом теорема разложения может быть записана и для преобразований Карсона — Хевисайда. Так, например, если изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух полиномов

то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет определяться выражением

Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображения Лапласа (7.38) и Карсона — Хевисайда (7.40) отличаются на множитель .

Использование изображений часто называют также операторным методом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хевисайдом, оказывается полностью аналогичным использование только преобразований Карсона — Хевисайда (7.21) и (7.22).

Метод использования изображений обладает тем преимуществом, что в нем полностью сохраняется лишь одна операция — вычисление корней характеристического уравнения (знаменателя изображения). Что касается определения произвольных постоянных интегрирования, то эта операция отпадает, потому что начальные условия автоматически учитываются в процессе решения с самого начала (при нахождении изображения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и его часто применяют в задачах теории регулирования.

Практически важной для отыскания оригинала решения является еще теорема свертывания. Она гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение

то оригинал выражается формулой

где представляет собой вспомогательное время интегрирования,

В частности, пусть для некоторой системы с передаточной функцией известна реакция на единичную импульсную функцию представляющую собой функцию веса и связанную с преобразованием Лапласа

Если на вход этой системы поступает некоторая функция времени , изображение которой , то изображение выходной величины будет

Тогда функция времени на выходе может быть найдена по интегралу свертывания (7.43), который совпадает с интегралом Дюамеля (4.9):

Если входная функция определена только для положительного времени (прикладывается на вход в момент времени то функция отлична от нуля только при . В этом случае верхний предел интеграла в формуле (7.44) может быть заменен на бесконечность и она приобретает вид