РАЗДЕЛ II. ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ГЛАВА 3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 3.1. Линеаризация уравнений

При составлении дифференциальных уравнений динамики любой автоматической системы последнюю разбивают на отдельные звенья и записывают уравнение каждого звена в отдельности. Уравнения всех звеньев образуют единую систему, которую можно преобразовать к одному уравнению путем исключения промежуточных переменных.

Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно выражало зависимость (в динамическом процессе) между теми величинами, которые в схеме исследуемой системы указаны на выходе и входе данного звена, т. е. между величинами, представляющими воздействие данного звена на последующее по схеме звено и воздействие предыдущего звена на данное. Динамическое уравнение отдельного звена составляется по правилам соответствующей технической науки (звено может представлять собой тепловой двигатель, электрическую машину, механическую передачу, электрическую цепь, ламповую схему и т. п.).

Рис. 3.1.

Звено может иметь иногда не одну входную величину, а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей). Кроме входной и выходной величин звена, которые выражают собой внутренние связи между звеньями данной системы, может учитываться также внешнее воздействие.

Пусть, например, звено (рис. 3.1, а) какой-нибудь автоматической системы имеет входные величины выходную — и внешнее воздействие а динамическое уравнение звена имеет произвольный нелинейный вид

(для примера взят определенный порядок входящих в уравнение производных вообще же здесь могут быть любые другие варианты).

Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях Тогда уравнение установившегося состояния для данного звена согласно (3.1) будет

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми (рис. 3.1, б).

Обозначим указанные отклонения через Тогда в динамическом процессе

Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического регулирования и следящих систем обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.

Внешнее же воздействие не зависит от работы автоматической системы, изменение его может быть произвольным, и поэтому правая часть уравнения (3.1) обычно линеаризации не подлежит (в отдельных случаях и она может быть линеаризована).

Первый способ линеаризации. Разложим функцию стоящую в левой части уравнения (3.1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение (3.1) примет вид

где через для краткости обозначена величина взятая при (т. е. сперва берется в общем виде частная производная от функции по после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения

Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (3.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция содержит в явном виде или если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями

Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (3.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции по всем переменным.

Вычтя из уравнения (3.4) почленно уравнение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звена в виде

Это дифференциальное уравнение, так же как и (3.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем:

1) это уравнение является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка;

2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины а их отклонения от некоторых установившихся значений

3) полученное уравнение является линейным относительно отклонений с постоянными коэффициентами (или с переменными коэффициентами, если содержит в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется переменными величинами например в программном регулировании).

Рис. 3.2.

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (3.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Проделав то же самое для всех звеньев системы, получим в результате линеаризованные уравнения процесса регулирования в отклонениях (или, как называют еще, уравнения «в вариациях»).

В дальнейшем можно будет проводить линеаризацию нелинейных уравнений непосредственно по аналогии с формулой (3.5), не производя предварительных выкладок.

Приведем геометрическую трактовку этого способа линеаризации. Изобразим графически зависимость от при постоянных значениях всех остальных переменных:

Пусть эта зависимость имеет вид кривой, представленной на рис. 3.2, а Отметим значение и проведем в точке С касательную. Тогда

где а — угол наклона касательной в точке для которой

и

Замена и сокращение члена (3.7), производившиеся раньше аналитически, здесь эквивалентны переносу начала! координат в точку С (рис. 3.2, а), в результате чего получается график рис. 3.2, б.

Первый член линейного уравнения (3.5) согласно (3.6) означает, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой на касательную к ней прямую Из графика рис. 3,2, б очевидно, что эта замена тем точнее, чем меньшие величины отклонения возникают в исследуемом динамическом процессе (основная

предпосылка для линеаризации); границы отклонений для которых допустима линеаризация, тем шире, чем ближе кривая к прямой Последним обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те границы, внутри которых отклонения можно считать «достаточно малыми».

В ряде задач отличие от линейности, показанное на рис. бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимости линеаризация будет справедлива лишь на соответствующем более узком участке отклонений Линеаризация может быть совершенно недопустимой при скачкообразных зависимостях (релейные характеристики, сухое трение). Такого рода зависимости называются существенно нелинейными.

Важно отметить следующее. Если по указанным причинам не может быть подвергнуто линеаризации уравнение только одного звена системы или даже только часть функции для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных нелинейных зависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных.

Второй способ линеаризации. Из приведенной геометрической иллюстрации вытекает другой способ линеаризации уравнений системы автоматического регулирования, который весьма часто применяется на практике. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными.

В последующих главах разделов II и III будут использоваться линеаризованные уравнения динамических звеньев. Однако для упрощения записи значок перед переменными будет опускаться в предположении, что эти переменные представляют собой малые отклонения от некоторого установившегося состояния и линеаризация уравнений уже проделана.