§ 24.3. Дискретная коррекция

В общем случае передаточная функция ЦВМ (рис. 24.4) может быть сделана не равной единице . Пусть она представляет собой дробно-рациональное выражение вида

Здесь — изображения решетчатых функций на входе и выходе ЦВМ.

Степень числителя (24.50) не может быть выше степени знаменателя. В формуле (24.50) взят предельный случай, когда они равны.

После деления числителя и знаменателя на передаточная функция получится в другом виде:

Отсюда можно найти разностное уравнение, соответствующее алгоритму работы ЦВМ;

где — решетчатые функции на входе и выходе ЦВМ.

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет

где — передаточная функция разомкнутой системы при определенная в соответствии с § 24.1.

Дискретная коррекция может быть также реализована в системах управления без ЦВМ. В этом случае дискретные корректирующие средства реализуются на дискретных фильтрах, построенных на различных ячейках памяти.

Расчет дискретных корректирующих средств, т. е. определение желаемого вида передаточной функции может производиться следующим образом. Пусть известна желаемая дискретная передаточная функция разомкнутой системы

где — желаемая передаточная функция замкнутой системы, передаточная функция исходной нескорректированной системы. Тогда искомая передаточная функция ЦВМ (или дискретного фильтра) будет

Формирование желаемой передаточной функции должно производиться с учетом некоторых ограничений. Необходимо, чтобы передаточная функция содержала в качестве нулей все те нули модуль которых равен или больше единицы. Необходимо также, чтобы выражение содержало в качестве нулей все те полюсы модуль которых равен или больше единицы.

Невыполнение этих условий вызывает нарушение требований к грубости системы и вызывает ее неустойчивость, так как приводит к неустойчивым линейным программам ЦВМ, которые должны реализовать получающуюся по формуле (24.55) передаточную функцию

Кроме того, получающаяся дробно-рациональная передаточная функция не должна иметь степень числителя выше, чем степень знаменателя, так как это приводит к необходимости знания будущего значения входного сигнала, что не может быть реализовано.

Вместо формулы (24.55) может применяться соотношение, связывающее дискретные частотные передаточные функции

или соответствующие им логарифмические частотные характеристики

После определения подстановкой можно получить передаточную функцию а затем путем перехода от -преобразования к z-преобразованию — передаточную функцию

Сформулированные выше ограничения по отношению к выражению (24.56) имеют следующий вид. Необходимо, чтобы передаточная функция содержала в качестве своих нулей и полюсов по переменной все те нули и полюсы передаточной функции которые лежат в правой полуплоскости. Кроме того, необходимо, чтобы получающаяся дробнорациональная функция имела степень числителя не больше, чем степень знаменателя.

Поясним сказанное примером. Пусть в цифровой системе с экстраполятором нулевого порядка передаточная функция непрерывной части

соответствует интегрирующему звену второго порядка. Тогда без коррекции имеем

Далее можно получить частотную передаточную функцию

Соответствующая ей построена на рис. 24.12. Если принять в качестве желаемой то желаемая частотная передаточная функция

Она совпадает с типовой передаточной функцией (табл. 24.1), если положить где

Дискретная частотная передаточная функция требуемого корректирующего звена последовательного типа

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

Последнее выражение определяет неустойчивую программу, так как полюс передаточной функции соответствует колебательной границе устойчивости.

Рис. 24.12.

Заметим, что получившаяся частотная передаточная функция корректирующего устройства (24.59) не может быть реализована, вообще говоря, и в непрерывном варианте. Эта функция соответствует бесконечному подъему усиления при росте частоты до бесконечности. При реализации в дискретном варианте эта функция приводит к неустойчивой программе ЦВМ.

Для исключения этого явления примем желаемую в другом виде (рис. 24.12). Желаемая передаточная функция

Передаточная функция корректирующего устройства в этом случае имеет вид

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

Этой передаточной функции соответствует устойчивая программа ЦВМ.

Для рассмотренного примера произведем числовой расчет. Пусть по условиям точности , а показатель колебательности . Дальнейший расчет произведем в соответствии с формулами § 12.6. Базовая частота л. а. х.

Требуемое значение постоянной времени равно

Допустимое значение суммы малых постоянных времени для передаточной функции (24.61) равно периоду дискретности:

Примем период дискретности сек. Передаточная функция имеет вид

В табл. 24.2 приведены некоторые простейшие дискретные корректирующие средства, которые могут реализоваться на ЦВМ или дискретных фильтрах. В табл. 24.2 даны также их параметры и значения модуля частотной дередаточной функции на нулевой псевдочастоте и при

Комбинированное регулирование. В цифровых системах возможно использование комбинированного регулирования по задающему или возмущающему воздействиям. При выполнении заданных условий по точности комбинированное регулирование позволяет снизить требования к основному каналу.

Рис. 24.13.

Комбинированное регулирование особенно удобно применять в тех случаях, когда задающее воздействие вычисляется в управляющей ЦВМ. В этом случае на ЦВМ может быть также возложена задача вычисления производных этого воздействия, что позволяет просто реализовать схемы комбинированного регулирования, аналогичные рассмотренным в § 9.2. Подобное положение возникает, например, при слежении телескопов за планетами, при управлении по счислимым координатам и т. п.

Структурная схема системы комбинированного регулирования для случая использования дополнительного канала с передаточной функцией по задающему воздействию изображена на рис. 24.13.

(см. скан)

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом дополнительного канала

где — передаточная функция разомкнутой системы, — эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы.

Эквивалентная передаточная функция по ошибке

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы

Из формулы (24.65), если положить можно получить условие полной инвариантности

Для большинства реальных систем степень числителя оказывается меньше степени знаменателя на единицу. Поэтому степень полинома будет на единицу больше степени полинома и формула (24.67) может быть приведена к виду

Слагаемое означает, что при формировании сигнала по каналу с передаточной функцией необходимо использовать упрежденное на один такт значение задающего воздействия. Это связано с необходимостью применения прямых разностей, которые в дискретном плане должны здесь заменить процесс дифференцирования (см. § 15.1). При этом возможны следующие ситуации.

1. Если ЦВМ вычисляет значение задающей величины по некоторым заложенным в нее данным и использует при этом прогнозирование (например, при вычислении текущих координат небесных тел, спутников, ракет и др.), то вычисление будущего значения интересующей величины может быть легко сделано со сдвигом на практически любое число тактов. В этом случае реализация формулы (24.68) в принципе возможна. Однако практические трудности в реализации слишком сложных алгоритмов и ограничения в элементах не дают возможности получить полную инвариантность.

2. Если ЦВМ вычисляет задающую величину не по принципу прогнози рования, а в результате обработки поступающей текущей информации, то точная реализация формулы (24.68) оказывается невозможной. Тогда приходится ограничиться приближенной реализацией формулы (24.67) либо вводить в прямой канал дополнительное запаздывание на один такт. В первом случае условие полной инвариантности (24.67) нарушается, во втором — вводится постоянное временное запаздывание на один такт в обработку задающего воздействия, что также нарушает условие инвариантности.

Таким образом, при использовании комбинированного регулирования приходится ориентироваться не на полную инвариантность, а на некоторое, во многих случаях весьма существенное, повышение точности.

Поскольку точность систем регулирования определяется низкочастотной частью л. а. х., а низкочастотная часть л. а. х. дискретных систем

практически сливается с л. а. х. непрерывной части системы, то расчет дискретных систем комбинированного регулирования осуществляется аналогично непрерывному случаю [10].

Важнейшим следствием использования комбинированного регулирования является возможность снижения требований к ЦВМ в части ограничения периода дискретности. Это связано с понижением требований к каналу регулирования по отклонению при введении дополнительного канала с передаточной функцией

Пониженные требования к точности воспроизведения в канале регулирования по отклонению позволяют перейти к желаемым л. а. х. с меньшим значением частоты среза. Это дает возможность увеличить период дискретности Т при сохранении необходимого запаса устойчивости.