§ 21.2. Несимметричные вынужденные колебания с медленно меняющейся составляющей

Вынужденные колебания будут несимметричными в следующих случаях;

1) при несимметричных нелинейных характеристиках системы;

2) при наличии постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия (в статических системах);

3) при наличии постоянной или медленно меняющейся скорости изменения внешнего воздействия (в астатических системах).

В общем случае будем полагать, что к нелинейной системе приложены два внешних воздействия, вследствие чего ее уравнение вместо (21.2) имеет

причем — медленно меняющееся внешнее воздействие, а — периодическое внешнее воздействие;

Медленно меняющееся воздействие считается мало изменяющимся за период т. е. предполагается, что возможные частоты изменения значительно ниже частоты

Решение уравнения (21.24) будем искать в виде

где — медленно меняющаяся составляющая, колебательная составляющая, амплитуда и фаза которой в общем случае тоже медленно изменяются во времени.

Тогда гармоническая линеаризация нелинейности может производиться по формуле, аналогичной (19.5);

где

причем Из сравнения этих формул с (19.6) видно, что при отыскании вынужденных колебаний можно целиком пользоваться всеми

конкретными выражениями для приведенными в главе 19, Таким образом, для каждой конкретной нелинейности имеются готовые выражения:

причем часто величина в них отсутствует. В качестве примера на рис. 21.6 приведены эти зависимости для нелинейности типа насыщения, аналогичные приведенным в главе 19.

Рис. 21.6.

По аналогии с формулой (21.4) запишем

Подставив выражения для в заданное дифференциальное уравнение нелинейной системы (21.24), получим уравнение

которое разбивается нелинейным образом (см. главу 19) на два уравнения соответственно для медленно меняющихся и для колебательных составляющих:

Оба уравнения содержат все три неизвестные

Второе из этих уравнений совпадает с прежним уравнением (21.5), но только с иными коэффициентами гармонической линеаризации зависящими от величины смещения Поэтому уравнение (21.32) до конца решается только совместно с уравнением (21.31), хотя, как будет видно из дальнейшего, возможны и более простые случаи. Пока же можно, написав характеристическое уравнение вида (21.12), после подстановки привести уравнение (21.32) к следующему;

в результате решения которого любым из двух методов (графическим или аналитическим), описанных в § 21.1, определяются зависимости амплитуды и сдвига фазы от величины смещения т. е.

где остается пока еще неизвестным.

Для применения графического метода § 21.1 к отысканию зависимости по уравнению (21.33) нужно на рис. 21.1 построить серию кривых

для разных значений которые согласно (21.28) входят в выражения для . Уравнение аналитического метода (21.17) примет вид

где и обозначают вещественные и мнимые части соответственно для выражения и выражения

Уравнение (21.35) не решается так просто, как (21.17). Однако можно применить следующий графический прием его решения. Разбив (21.35) на два уравнения:

построим по первому из них на плоскости кривую 1 (рис. 21.7), а по второму — серию кривых 2 для разных значений при заданных В и

Рис. 21.7.

Перенося полученные точки пересечения кривых вправо на плоскость получаем сразу искомую зависимость для заданного внешнего периодического воздействия, т. е. для заданной пары значений В и Эту зависимость легко получить таким же путем и для любых других заданных В и

Подставив теперь значение амплитуды в первое из выражений (21.29), найдем функцию смещения в виде

которая является характеристикой данного нелинейного звена системы по отношению к медленно меняющимся составляющим переменных их. Эти медленно меняющиеся составляющие определяются затем путем решения дифференциального уравнения (21.31), в которое надо подставить найденную функцию смещения (21.36).

Независимость очертания функции смещения от характера изменения и места приложения медленно меняющихся внешних воздействий здесь остается в силе, как было и при автоколебаниях (глава 19).

Однако принципиальным отличием функции смещения (21.36), определяющей нрохождение медленно меняющихся сигналов через нелинейную систему при наличии вынужденных колебаний, от функции смещения (19.13) при автоколебаниях является существенная зависимость ее от частоты

и амплитуды внешнего периодического воздействия (в то время как при автоколебаниях вид функции смещения зависел только от структуры и от соотношения параметров самой системы).

В результате для каждой заданной частоты вынужденных колебаний получается серия кривых для разных значений амплитуды В внешнего периодического воздействия как показано, например, на рис. 21.8, а. При заданных и В получается вполне определенное очертание функции смещения зависящее только от структуры и параметров самой системы, входящих в уравнение (21.33).

Рис. 21.8.

Здесь, так же как и в главе 19, возможен и второй метод отыскания функции смещения. При этом методе попутно определяются также статические и установившиеся ошибки. Метод состоит в следующем.

Поскольку функция смещения не зависит от характера изменения и места приложения медленно меняющихся воздействий, то ее можно определить для простейшего случая (или при астатической системе для Тогда уравнение (21.31) принимает вид

где или для астатических систем Используя первое выражение из (21.29), т. е. (при заданной частоте )

из уравнения (21.37) находим

Подставив это в выражения для q и определяемые второй и третьей из формул (21.29), получим зависимости

Вводя их в уравнение (21.33), эквивалентное (21.32), и решая его любым из двух способов, указанных выше, при заданных В и находим амплитуду

вынужденных колебаний Подставляя в (21.38) и (21.39), получаем зависимости

Эти зависимости представляют самостоятельный интерес, так как ими определяется статическая ошибка (а для астатической системы — установившаяся ошибка при постоянной скорости) нелинейной системы по медленно меняющейся составляющей, на которую накладывается еще установившаяся периодическая ошибка вынужденных колебаний с амплитудой Все эти ошибки определяются, как видим, в зависимости от величины постоянной правой части уравнения (21.37), т. е. от величины внешнего воздействия (постоянного и равного или меняющегося с постоянной скоростью Но, кроме того, что очень важно для нелинейных систем, величина статического отклонения может существенно зависеть от амплитуды В и частоты внешнего периодического воздействия, так как выражения (21.40) выводились с помощью уравнения (21.33), в которое входят В и . В свою очередь амплитуда вынужденных колебаний зависит через от величины постоянного внешнего воздействия. Это яркий пример неприменимости принципа суперпозиции для нелинейных систем и в то же время иллюстрация достоинства развиваемого здесь метода, который позволяет это уловить, несмотря на приближенность решения задачи.

Далее, исключая из выражений (21.40) величину находим функцию смещения для заданных В и (рис. 21.8, а).

Итак, наличие в нелинейной системе вынужденных колебаний с частотой внешнего периодического воздействия приводит к эффекту вибрационного сглаживания нелинейности, как и при автоколебаниях. При этом согласно (21.31) для медленно протекающих процессов в условиях вынужденных вибраций исходное дифференциальное уравнение системы (21.24) заменяется уравнением

т. е. заданная нелинейность заменяется функцией смещения и отбрасывается внешнее периодическое воздействие по сравнению с которым является медленно меняющимся.

Функция смещения обычно на определенном участке изменения величины изображается однозначной плавной кривой (рис. 21.8. а), в то время как заданная нелинейность или может быть скачкообразной (релейной), петлевой, с зоной нечувствительности и т. Этот эффект сглаживания характеристики нелинейного звена позволяет, следовательно, ликвидировать влияние вредных гистерезисных петель, зоны нечувствительности, эффекта сухого трения и пр. по отношению к медленно меняющимся сигналам. В некоторых же случаях вибрационное сглаживание может оказаться отрицательным явлением, как было в случае рис. 19.8, где получался эффект снижения коэффициента усиления. Кроме этих явлений, аналогичных вибрационному сглаживанию при автоколебаниях, здесь появляются и принципиально новые явления вследствие зависимости характеристики от В и что будет подробнее рассмотрено ниже.

Плавность функции смещения (рис. 21.8, а) позволяет произвести обычную линеаризацию, а именно на некотором участке вблизи начала координат можно принять

где

(см. скан)

Тогда все медленно протекающие процессы в данной нелинейной системе можно будет рассчитывать не по уравнению (21.41), а по линейному уравнению

При этом очень существенно то, что коэффициент усиления (рис. 21.8, а) будет зависеть не только от структуры и параметров самой системы, как было при автоколебаниях, но также и от амплитуды В и частоты внешнего периодического воздействия, которые могут меняться в известных пределах независимо от самой системы. Поэтому вибрационное сглаживание нелинейных характеристик при помощи вынужденных колебаний обладает значительно большими практическими возможностями, чем при автоколебаниях, и довольно часто применяется в технике, особенно в релейных системах автоматического управления. Однако в некоторых случаях вибрационное сглаживание может приводить к вредным последствиям, вплоть до потери устойчивости системы.

С точки зрения упрощения решения задачи важно иметь в виду, что для всех нечетно-симметричных нелинейностей как однозначных, так и петлевых, вычисление коэффициента при линеаризации функции смещения можно производить, как было показано в § 19.2, не по формуле (21.43), а по более простой формуле:

т. е. непосредственно по первому из выражений (21.29), не определяя вовсе самой функции смещения Выражения найденные по формуле (21.45), для некоторых нелинейностей приведены в табл. 21.1. Геометрически величина будет крутизной кривой в начале координат, например кривой на рис. 21.6, а в начале координат. Чтобы взять при этом определенную кривую из изображенной на рис. 21.6, а серии кривых для различных нужно предварительно по заданным значениям амплитуды В и частоты внешнего периодического воздействия найти величину амплитуды вынужденных колебаний при Но эта задача была уже решена в § 21.1, причем результат решения представлен в виде графика рис. 21.4. Следовательно, теперь для подстановки в формулу (21.45) или для рис. 21.6, а нужно взять просто готовые значения из рис. 21.4 для заданных В и

При этом легко могут быть построены зависимости величины не только от В и (рис. 21.8, б), но также и от любого параметра системы к (рис. 21.8, в), влияние которого желательно исследовать и от которого зависит амплитуда вынужденных колебаний (рис. 21.2, в), фигурирующая на рис. 21.6, а.