§ 3.2. О записи линеаризованных уравнений звеньев

В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных формах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены — в правой части. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения:

Тогда уравнение (3.5) примет вид

В случае, если нелинейная функция не содержит величины а содержит только ее производные, т. е. если

в формулах (3.8) необходимо заменить на результате получится уравнение

где

Уравнения (3.9) и (3.10) удобнее записывать в символической форме, введя алгебраизированный оператор дифференцирования Тогда уравнение (3.9) примет вид

а уравнение (3.10) —

Эти записи надо рассматривать только как сокращенную форму более полных записей (3.9) и (3.10).

Стандартные формы записи уравнений звеньев автоматических систем (3.9) и (3.10) или их сокращенные виды (3.11) и (3.12) можно использовать как для размерных отклонений реальных величин на входе и выходе звена, так и для любых безразмерных относительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. При записи уравнений в стандартной форме коэффициенты называются коэффициентами передачи, а постоянными времени данного звена.

Рис. 3.3.

В случае звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, для коэффициентов передачи используются также следующие термины:

1) коэффициент усиления — для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель;

2) передаточное число — для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. д.

Термин «коэффициент передачи» можно пояснить следующим образом. Если подать на вход звена только постоянное значение (рис. 3.3, б) и найти установившееся значение выходной величины (рис. 3.3, е), то из (3.9) получим Таким образом, коэффициент показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме.

Следовательно, коэффициент передачи определяет собой наклон (с учетом масштабов по осям) линейной статической характеристики [звена (рис. 3.3, а). Заметим, что нелинейную характеристику звена часто называют

характеристикой с переменным по входной величине коэффициентом передачи. Из (3.9) очевидно, что

В размерность коэффициента передачи может входить также время . Так, из уравнения (3.9) следует, что

а из уравнения (3.10) следует, что для такого звена

Постоянные времени как следует из уравнений (3.9) и (3.10), имеют размерность времени.

Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования алгебраической величиной, решим уравнение (3.11) относительно выходной величины:

Выражения

называются в теории регулирования передаточными функциями. Уравнение (3.13) можно представить в виде

Выражения (3.13) и (3.17) представляют собой символическую запись дифференциального уравнения (3.9).

Передаточные функции, формулы для которых устанавливаются выражениями (3.14) — (3.16), вводятся для сокращения записи дифференциальных уравнений и также представляют собой символическую запись дифференциальных уравнений.

Более строго передаточная функция определяется через изображения Лапласа или Карсона — Хевисайда (см. главу 7). Если ввести изображения, например по Лапласу, входных и выходных величин звена:

где — комплексная величина, то передаточную функцию (3.14) можно строго определить как отношение изображений выходной и входной величин звена:

при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звено . Аналогичным образом можно определить

передаточные функции (3.15) и (3.16). Поэтому вместо дифференциального уравнения (3.17), куда входят функции времени можно написать при нулевых начальных условиях уравнение для изображений в виде совпадающем по форме с (3.17):

или в развернутом виде:

В двух последних выражениях фигурируют не функции времени, а их изображения: где — комплексная величина.

В изображениях Лапласа и Карсона — Хевисайда комплексная величина часто обозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем . В этом случае уравнение (3.19) будет иметь вид

Здесь, как и в уравнении (3.19), фигурируют изображения функций .

Рис. 3.4.

В дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования — для символической записи дифференциальных уравнений, куда входят функции времени и комплексная величина для записи уравнений с изображениями функций времени по Лапласу или Карсону — Хевисайду Запись передаточных функций звена и в том и в другом случае сливается в одну: Однако в передаточных функциях буква будет означать символ дифференцирования или комплексную величину в зависимости от того, рассматриваются ли функции времени или их изображения.

Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем. Так, например, звено, изображенное на рис. 3-1, после линеаризации, которая была проделана в предыдущем параграфе, можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 3.4. Передаточные функции звеньев или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы в виде (3.13) или (3.20), а в дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальному уравнению вида (3.9). Подобным же образом могут быть получены передаточные функции и структурные схемы и для других дифференциальных уравнений звеньев, например для рассмотренного выше уравнения (3.10). Подробнее этот вопрос изложен в § 5.4.