РАЗДЕЛ V. ЦИФРОВЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ГЛАВА 24. СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЦИФРОВЫМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ МАШИНАМИ

§ 24.1. Общие понятия

Использование цифровых вычислительных машин (ЦВМ) для управления автоматизированными объектами имеет большие перспективы. Это объясняется значительными вычислительными и логическими возможностями ЦВМ, что позволяет реализовывать сложные алгоритмы управления.

Включение цифровой вычислительной машины в систему автоматического регулирования требует рассмотрения двух групп вопросов.

К первой группе относятся вопросы, связанные с проектированием и реализацией самой ЦВМ, а также ее входных и выходных устройств (преобразователей), задачей которых является преобразование непрерывных физических величин к цифровому виду и обратно.

Ко второй группе относятся вопросы, связанные с изучением влияния дискретного характера выходных сигналов ЦВМ на динамические свойства системы автоматического регулирования. Дальнейшее изложение будет касаться именно этой группы вопросов.

Как правило, целесообразно вводить ЦВМ в систему регулирования в тех случаях, когда требуется сложная обработка поступающей информации. Так, например, в системах управления движущимися объектами необходимо производить сложные вычисления, связанные с операциями преобразования координат, решение прямоугольных и сферических треугольников, счисление пути и т. п. В системах управления сложными производственными объектами, например доменными печами, автоматизированными линиями и т. п., приходится производить большой объем логических операций.

Ввиду сравнительно большой сложности ЦВМ включение ее в состав автоматизированной системы оправдывается тогда, когда на ЦВМ возлагается решение ряда задач с обслуживанием нескольких зависимых или независимых каналов управления.

Общий случай системы регулирования с ЦВМ изображен на рис. 24.1. Здесь представляют собой задающие воздействия, в функции которых ЦВМ вырабатывает регулирующие воздействия, прикладываемые к системе регулирования; являются регулируемыми величинами, а — возмущающими воздействиями.

По своему принципу действиям ЦВМ является вычислительным устройством дискретного действия. Поэтому и система регулирования с ЦВМ представляет собой дискретную систему.

Ввиду того, что рассмотрение системы со многими переменными (рис. 24.1) представляет собой весьма громоздкую задачу, ограничимся случаем, когда ЦВМ вводится в одиночный контур регулирования с одной

регулируемой величиной у и одним задающим воздействием Во многих случаях задача исследования системы с ЦВМ может быть сведена к рассмотрению таких одиночных контуров (рис. 24.2).

Принцип работы ЦВМ заключается в том, что возложенные на нее математические действия она производит в дискретные моменты времени где Т — период повторения ЦВМ. В интервалах между решениями на выходе ЦВМ сохраняется то решение, которое было получено в начале рассматриваемого интервала. Поэтому непрерывная функция заменяется на выходе ЦВМ ступенчатообразной функцией в соответствии с рис. 24.3. Эта функция и прикладывается к непрерывной части системы регулирования (рис. 24.2).

В интервалах между решениями на выходе ЦВМ возможна также экстраполяция предыдущих решений по линейной, квадратичной и т. д. зависимостям. Сохранение предыдущего решения, указанное выше, соответствует использованию экстраполятора нулевого порядка. Этот случай и будет рассматриваться в дальнейшем.

Процесс превращения непрерывной функции в ступенчатую (рис. 24.3) соответствует квантованию по времени. Вследствие цифрового представления непрерывной величины в цифровой вычислительной машине имеет место также процесс квантования по уровню. Последнее объясняется тем, что цифровое представление допускает только вполне определенные фиксированные уровни сигналов, отличающиеся друг от друга на единицу младшего разряда.

Рис. 24.1.

Рис. 24.2.

Рис. 24.3.

Квантование по времени делает всю систему регулирования дискретной, а квантование по уровню — нелинейной. В дальнейшем изложении будем вначале предполагать, что влиянием квантования по уровню можно пренебречь. Это делает всю систему линейной и дает возможность использовать для ее расчета аппарат, развитый для исследования импульсных систем (глава 15). Влияние квантования по уровню будет рассмотрено отдельно в § 24.4.

Дискретные передаточные функции.

Непрерывная часть системы, на входе которой действует ступенчатая функция изображенная на рис. 24.3, носит название фильтра с фиксацией или фильтра с запоминанием.

Для исследования подобных систем может использоваться аппарат z-преобразования и его модификации. Разница будет заключаться только в получении исходной дискретной передаточной функции разомкнутой системы , т. е. дискретной передаточной функции фильтра с фиксацией.

Дальнейшие исследования могут производиться в соответствии с изложенным выше для импульсных схем.

Дискретный элемент, каким является ЦВМ, генерирует импульсы, длительность которых равна периоду повторения Т. В связи с этим можно воспользоваться формулой (15.139), если положить в пей

где — переходная функция непрерывной части (рис. 24.2), является -преобразованием переходной функции

Таким образом, отыскание передаточной функции разомкнутой дискретной системы с запоминанием сводится к отысканию переходной функции разомкнутой непрерывной части, переходу от нее к z-преобразованию, что может быть сделано по таблицам, и умножению полученного результата на

Формула (24.1) может быть представлена также в другом виде. Переходная функция является преобразованием Лапласа от передаточной функции непрерывной части деленной на :

Поэтому формулу (24.1) можно символически записать в виде

где означает z-преобразование от изображения Лапласа, находящегося в квадратных скобках.

Пусть передаточная функция непрерывной части статической системы регулирования в разомкнутом состоянии может быть представлена в виде

Разложим ее на простые дроби:

где — коэффициенты, определяемые в соответствии с теоремой разложения (см. § 7.4).

Переходная функция для последнего выражения представляет собой сумму экспонент

Из табл. 15.1 следует, что дискретная передаточная функция может быть представлена в виде

где .

Для астатических систем первого порядка с передаточной функцией непрерывной части

аналогичными рассуждениями можно показать, что дискретная передаточная функция может вычисляться по выражению

а для астатических систем с астатизмом второго порядка, имеющих передаточную функцию непрерывной части

— по выражению

где — условная добротность по скорости, вычисляемая по формуле

— коэффициенты разложения.

Учет запаздывания.

В контуре системы регулирования с ЦВМ может содержаться элемент, вносящий временное запаздывание (глава 14). Это запаздывание может относиться как к непрерывной части, так и к самой ЦВМ. В последнем случае запаздывание определяется программой работы машины и не может превышать периода повторения, т. е. .

Учет запаздывания вне зависимости от того, относится ли оно к непрерывной части или к ЦВМ, осуществляется при определении дискретной передаточной функции разомкнутой системы . В этом случае z-преобразование от переходной функции непрерывной части должно осуществляться в соответствии с выражением (15.138):

где — относительное запаздывание, — смещенное z-преобразование для переходной функции определяемое по табл. 15.1.

Исследование устойчивости и качества регулирования.

После нахождения дискретной передаточной функции разомкнутой системы дальнейшее исследование производится в соответствии с главой 15. Для этой цели может быть найдена дискретная передаточная функция замкнутой системы (15.143);

и дискретная передаточная функция по ошибке (15.144):

Условие применимости формул (15.143) и (15.144) сводится здесь к тому, чтобы начальное значение переходной функции непрерывной части равнялось нулю, т. е. Это будет выполняться в том случае, когда степень числителя передаточной функции непрерывной части меньше степени знаменателя.

Как и в импульсных системах, условием устойчивости замкнутой системы будет где — корни характеристического уравнения (15.158):

Точность системы может определяться по коэффициентам ошибок (15. 171), а быстродействие и запас устойчивости — построением переходного процесса или частотными методами (см. главу 15).

На основании изложенного можно представить структурную схему системы регулирования с ЦВМ следующим образом. Вне зависимости от сложности решаемых математических задач можно считать, что ЦВМ определяет разность между необходимым значением регулируемой величины и действительным значением, т. е. ошибку . В функции этой ошибки ЦВМ должна прикладывать к системе регулирования управляющее воздействие. Поэтому для исследования динамики следует пользоваться структурной схемой (рис. 24.4), в которой ЦВМ условно введена последовательно в цепь вычисления ошибки. В общем случае в контуре регулирования может присутствовать элемент чистого временного запаздывания, выделенный в отдельное звено с передаточной функцией

Рис. 24.4.

Эффекты запоминания на период интегрирования весовой функции (рис. 24.3), определяемые формулами (24.1) и (24.3), учитываются также отдельным звеном с передаточной функцией

где

Если кроме определения ошибки ЦВМ производит интегро-дифференциальные операции, то в контуре будет также присутствовать дискретная передаточная функция соответствующая некоторому дискретному фильтру, разностное уравнение которого может быть получено из на основании (15.96) и (15.98).

Ключи, изображенные на структурной схеме (рис. 24.4), генерируют импульсные функции в соответствии с периодом повторения ЦВМ. Проходя через запоминающее устройство (24.12), последовательность импульсных функций образует ступенчатую функцию (рис. 24.3).

Рассмотрим теперь простейшие примеры.

Пример 1. Пусть непрерывная часть системы регулирования соответствует астатизму первого порядка и представляет собой идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией

В соответствии с (24.7) получаем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы

Определим условие устойчивости замкнутой системы. Характеристическое уравнение системы приобретает вид

Для выполнения условия необходимо, чтобы удовлетворялось неравенство

Это и будет условием устойчивости системы.

Если необходимо иметь запас устойчивости, то можно воспользоваться для его оценки, например, понятием показателя колебательности. Найдем дискретную частотную передаточную функцию, положив . В результате получаем

Нетрудно видеть, что амплитудно-фазовая характеристика представляет собой прямую, параллельную оси мнимых (рис. 24.5). Условие получения заданного показателя колебательности

Это условие дает допустимое соотношение между общим коэффициентом усиления К, который в рассматриваемом случае, как нетрудно показать, равен добротности по скорости и периодом повторения ЦВМ.

Построим переходный процесс при подаче на вход ступенчатого воздействия

Рис. 24.5.

Рис. 24.6.

Дискретная передаточная функция замкнутой системы

Изображение единичной ступенчатой функции будет (табл. 15.1)

Изображение выходной величины

Примем следующие значения произведения добротности по скорости на период повторения;

1) что соответствует

2) что соответствует для максимального значения

3) что соответствует

Раскладывая (24.18) в ряд Лорана, получаем значения выходной величины в дискретные моменты времени, соответствующие Процессы изображены на рис. 24.6. Значения выходной величины в дискретные

моменты времени соединены между собой прямыми линиями, соответствующими переходным характеристикам интегрирующего звена, которым является непрерывная часть системы.

Нетрудно заметить, что оптимальный процесс будет при (случай 2). Тогда переходный процесс длится конечное время, равное одному периоду повторения.

Пример 2. Рассмотрим систему с астатизмом второго порядка. Пусть передаточная функция непрерывной части имеет вид

В соответствии с (24.9) получаем

Воспользуемся для расчета методом логарифмических частотных характеристик. Для этой цели применим подстановку (15.162) и перейдем к -преобразованию

Для перехода к частотной передаточной функции сделаем подстановку где X представляет собой абсолютную псевдочастоту. В результате получим частотную передаточную функцию

Модуль этой величины

и фаза

Рис. 24.7.

По этим выражениям на рис. 24.7 построены асимптотическая л. а. х. и л. ф. х. Нетрудно видеть, что этот случай по расположению фазовой характеристики сводится к случаю л. а. х. типа 2—1—2, изображенной на рис. 12.13. Используя полученные в главе 12 формулы, получаем требуемую протяженность участка с наклоном 20 дб/дек в оптимальном случае;

Базовая частота л. а. х. .

Далее, имеем связь между постоянной времени и базовой частотой:

откуда находим общий коэффициент усиления

Эту формулу можно записать также в следующем виде:

Формулы (24.21) и (24.22) позволяют выбрать значения общего коэффициента усиления непрерывной части К и постоянной времени при заданном значении периода повторения Т или определить значение периода повторения при заданном значении общего коэффициента усиления К, Заметим, что в рассматриваемой системе коэффициенты ошибок равны нулю, а общий коэффициент усиления равен добротности системы по ускорению;

Формула (24.23) дает возможность определить допустимое соотношение между добротностью системы по ускорению К и периодом дискретности Т.

Построение переходного процесса можно произвести аналогично примеру 1 § 24.1.