§ 22.3. Пример исследования влияния случайных помех на динамику нелинейной системы

На нелинейную систему автоматического управления (рис. 200) действует случайная помеха являющаяся высокочастотной по сравнению с медленно меняющимся полезным сигналом управления в данной системе. Проходя через нелинейное звено, помеха изменяет его коэффициент усиления но отношению к полезному сигналу (вторая задача § 22.2). Требуется

оценить влияние этого явления на динамические качества данной системы автоматического управления по полезному сигналу.

Уравнение замкнутой системы (рис. 22.10) в целом будет

где — заданная нелинейность (рис. 22.10, б). При этом заданы:

Рис. 22.10.

Помеха имеет нормальный закон распределения и задана спектральной плотностью (рис. 22.11)

где . Меняя величину дисперсии помехи характеризующую «уровень помехи», будем определять динамические качества системы в зависимости от величины

Рис. 22.11.

Произведя статистическую линеаризацию (22.3), разобьем уравнение системы (22.36) на два, соответственно для регулярной и случайной составляющих:

Поскольку передаточная функция линейной части системы

при заданных выше ее параметрах практически не пропускает частот, при которых спектральная плотность помехи (рис. 22.11) имеет существенное значение, то согласно (22.31) дисперсия помехи на входе нелинейного звена будет

Чтобы привести этот интеграл к стандартному виду (§ 11.6), преобразуем сначала знаменатель спектральной плотности, а именно;

Тогда согласно обозначениям приложения 2 получим

где

В числителе же получим

где

В результате находим

где согласно приложению 2

Перейдем теперь к уравнению (22.38) для регулярной составляющей, т. е. для полезного сигнала х. Функция определяется в нем графиком рис. 22.6, б в зависимости от . В начальной части все кривые этого графика близки к прямым. Поэтому можно провести их обычную линеаризацию в виде

где крутизна в начале координат (рис. 22.6, б), которая зависит от величины а. Для данной задачи получим

Физически величина является коэффициентом усиления полезного сигнала в нелинейном звене в присутствии помех, причем приведенная таблица дает зависимость этого коэффициента от уровня помехи, т. е. от средне-квадратичного ее значения на входе нелинейного звена.

Как видим, увеличение уровня помехи ведет к существенному снижению коэффициента усиления полезного сигнала в нелинейном звене, что показано графически на рис. 22.12. Это составляет принципиальную особенность нелинейной системы, которая обусловливает зависимость всех ее статических и динамических качеств по полезному сигналу, в том числе и устойчивости, от уровня помех.

Найдем, например, зависимость устойчивости системы от уровня помех. Для этого согласно (22.38) и (22.41) запишем характеристическое уравнение системы;

Условие устойчивости системы по критерию Гурвица принимает вид

При заданных в начале параграфа параметрах это дает Это согласно рис. 22.12 соответствует значению

Но согласно (22.39)

где обозначено

Эту величину удобно принять для выражения среднеквадратичного значения внешней помехи в относительных единицах, учитывая, что согласно рис. 22.10 размерности переменных связаны между собой именно через коэффициент Вычислив величину по формуле (22.40) при заданных выше параметрах системы, из (22.44) находим

Это означает, что только при уровне помех, не превышающем указанного значения, данная система остается устойчивой. Далее она теряет устойчивость по полезному сигналу.

Рис. 22.12.

Рис. 22.13.

Выясним теперь влияние параметров к и на устойчивость системы в присутствии помех. Для этого по формуле (22.43) найдем сначала границы устойчивости системы на плоскостях параметров (рис. 22.13, а и б). На границе устойчивости для каждого значения графику рис. 22.12 (или по приведенной выше таблице) находим величину а по ней согласно

(22.44) и среднеквадратичное значение внешней помехи, при которой теряется устойчивость системы:

Это позволяет перестроить найденные на рис. 22.13 границы устойчивости в новые координаты соответственно

(рис. 22.14, а и б). При этом надо иметь в виду, что величина согласно (22.40), зависит от параметра Твследствие чего вычисление по формуле (22.45) при построении графика рис. 22.14, б необходимо производить с учетом изменения при изменении .

Рис. 22.14.

Как видим, с увеличением параметра к опасный уровень помех снижается, а при увеличении параметра он растет. Это вполне естественно, поскольку является, согласно рис. 22.10, коэффициентом интенсивности введения производной, улучшающим стабилизацию системы.

По линейному уравнению, вытекающему из (22.38) и (22.41),

используя линейную теорию автоматического регулирования, можно исследовать также и все другие динамические качества данной нелинейной системы по полезному сигналу в присутствии помех, учитывая, однако, при этом все время, что величина коэффициента зависит от уровня помех от общей структуры и от некоторых параметров системы.