§ 7.2. Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения
Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью
Для отыскания полного решения этого дифференциального уравнения необходимо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью 
и определить корни характеристического уравнения
Как указывалось выше, полное решение будет иметь вид
Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования 
. Для этой цели используются начальные условия: при 
Начальные
условия накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения (7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени 
раз и используя начальные условия, получают 
алгебраических уравнений, куда входят 
неизвестных постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений дает возможность определить искомые постоянные интегрирования 
Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравнений являются трудоемкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенными методами. В связи с этим использование этого метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего.
Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное решение равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:
В этом случае переходный процесс определяется только видом корней и начальными условиями. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы для получающегося переходного процесса при различных степенях дифференциального уравнения 
(от 1 до 3) и корнях различного вида.
Таблица 7.1
В таблице приняты следующие обозначения: 
— абсолютные значения вещественных некратных корней; у и X — абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; 
— начальное значение исследуемой координаты; — начальное значения скорости изменения исследуемой координаты; 
— начальное значение ускорения.
