§ 11.2. Случайные процессы

Случайная величина х, изменяющаяся во времени называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая а является множеством возможных кривых , так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокуп ностью (множеством) возможных значений.

Можцо еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Примерами случайных процессов могут, например, являться: координаты самолета, замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т. п.

Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости Каждая кривая множества (рис. 11.11) является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс.

Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками.

В каждый отдельный момент времени рис. 11.11) наблюдаются случайные величины каждая из которых имеет свой закон распределения.

Рис. 11.11.

Рис. 11.12.

Поскольку это — непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.

Обозначим закон распределения для всех этих отдельных случайных величин. В общем случае он меняется с течением времени. Для каждого данного в отдельности будет свой закон распределения:

причем по свойству (11.14) для каждого из них

Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин, определенные в § 11.1. В результате будем иметь среднее по множеству (математическое ожидание)

и дисперсию

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую (рис. 11.12), около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия или среднеквадратичное отклонение а характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой.

Кроме этих осредненных характеристик которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайной величины х для отдельной реализации случайного процесса которое определяется из выражения

Переход к пределу здесь необходим для того, чтобы характеризовать не какой-нибудь отдельный участок кривой, а всю возможную кривую х (О в целом.

Для того чтобы знать связь между возможными значениями случайной функции в последующие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности

смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент времени величина х находится в интервале а в момент времени — в интервале будет Это есть вероятность того, что кривая пройдет вблизи двух заданных точек Вводится также и -мерная плотность вероятности

Если ее умножить на то это будет вероятность того, что кривая пройдет вблизи заданных точек.

Случайный процесс полностью определяется видом функций и связью между ними.

Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени в момент в момент не зависят друг от друга. Тогда появления значений будут независимыми случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса

и вообще

Это — самые простые соотношения в теории случайных процессов. Они могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).

Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем соотношения (11.39) и (11.40) практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени.

Так, например, если речь идет о слежении за самолетом, то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если он в момент времени занял положение то этим самым его возможное положение в следующий момент ограничено, т. е. события не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, или корреляция. В таких случаях вместо формулы (11.39) необходимо записать

где условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки если он уже прошел через точку Следовательно, зная плотности вероятности можно найти также и условную плотность вероятности

Кроме того, имеет место следующая связь между основными плотностями вероятности:

так как есть плотность вероятности случайной величины безотносительно к тому, какое потом будет значение т. е. допускается . Аналогичным образом любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины х в различные моменты времени).

Написанные соотношения справедливы для случайных процессов любых типов. В зависимости же от того, до какого порядка принимаются во внимание плотности вероятности, а также от разных дополнительных гипотез о формах связи между рассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных.

Другая классификация всех случайных процессов состоит в разделении их на стационарные и нестационарные. Теория стационарных случайных процессов наиболее разработана и чаще всего применяется на практике.