§ 11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системах

Замкнутая система автоматического регулирования может находиться под воздействием случайного задающего сигнала и случайной помехи приложенной в произвольной точке системы (рис. 11.26).

Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехи будем считать известными. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины и ошибки Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную ошибку системы регулирования. Это может быть сделано посредством интегрирования по всем

частотам спектральной плотности ошибки или через корреляционную функцию ошибки

В простейшем случае, когда управляющее воздействие представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью , а помеха отсутствует; расчет можно свести к рассмотренной выше схеме (рис. 11.25). Тогда спектральная плотность ошибки будет

Рис. 11.26.

Частотная передаточная функция по ошибке связана с частотными передаточными функциями разомкнутой и замкнутой системы соотношением

Таким образом, для спектральной плотности ошибки получаем

Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию и среднеквадратичное значение ошибки:

Вычисление дисперсии и среднеквадратичной ошибки через корреляционные функции может производиться на основании формулы (11.107). В качестве функции веса в рассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки , связанная с частотной передаточной функцией по ошибке преобразованием Фурье

После нахождения корреляционной функции ошибки дисперсия определяется подстановкой

Однако нахождение среднеквадратичной ошибки посредством использования спектральных плотностей оказывается обычно более простым и поэтому применяется чаще.

В другом простейшем случае, когда задающее воздействие а помеха представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью , аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки:

В этом выражении представляет собой частотную передаточную функцию;

связывающую изображения Фурье ошибки и помехи .

В частном случае, когда помеха действует на входе системы в месте приложения задающего воздействия, в формуле (11.101) должна использоваться

зоваться частотная передаточная функция замкнутой системы

Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотности ошибки для случая, когда задающее воздействие и помеха действуют одновременно (рис. 11.26).

Обозначим через весовую функцию для ошибки по задающему воздействию и через весовую функцию для ошибки по помехе. Тогда ошибку можно представить в виде

Подставим это выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим

Отсюда находим

где — взаимные корреляционные функции.

Для нахождения спектральной плотности ошибки левую и правую части (11.125) умножим на и проинтегрируем по от до . В результате выкладок, аналогичных тем, которые были проделаны при выводе формулы (11.111), получим

В этом выражении представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а — частотные передаточные функции для ошибки по задающему воздействию и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс.

При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой формула (11.126) упрощается:

В частном случае, когда помеха действует на входе в месте приложения управляющего воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в следующем виде;

так как для этого случая частотная передаточная функция совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы

Все приведенные выше формулы для спектральной плотности ошибки могут быть легко переписаны для спектральной плотности выходной величины у (?), если в них заменить частотную передаточную функцию для ошибки на частотную передаточную функцию замкнутой системы