§ 8.5. Приближенная оценка вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике

Построение кривой переходного процесса является в большинстве случаев весьма трудоемкой операцией. Поэтому целесообразно использовать методы, позволяющие определить вид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать по вещественной частотной характеристике замкнутой системы, которая используется для построения переходной функции (см. § 7.5). При этом предполагается, что переходный процесс вызван скачком задающего воздействия Возможна оценка вида переходного процесса при приложении скачка возмущения . В этом случае необходимо использовать вещественную часть частотной передаточной функции системы по возмущающему воздействию .

Использование оценки вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике наиболее удобно применять в том случае, когда для исследования автоматической системы используются частотные методы.

Пусть вещественная частотная характеристика замкнутой системы имеет вид, изображенный на рис. 8.6.

Рис. 8.6.

Интервал частот в котором называется интервалом положительности. Интервал частот называется интервалом существенных частот, если при и далее при величина становится и остается меньше некоторой заданной достаточно малой положительной величины Влиянием остальной части вещественной частотной характеристики (при со сос) на качество переходного процесса можно пренебречь. Если же при оказывается, что то при оценке качества переходного процесса в первом приближении можно принимать во внимание только интервал положительности

Заметим, что отбрасываемый «хвост» вещественной частотной характеристики сос или влияет главным образом на начальную часть переходного процесса, которая, следовательно, будет оцениваться более грубо. Начало же вещественной частотной характеристики определяет главным образом концевую часть переходного процесса.

На основании анализа интеграла (7.53) были получены следующие оценки качества переходного процесса.

1. Статическое отклонение регулируемой величины, получающееся в результате единичного скачка внешнего воздействия, равно начальному значению вещественной частотной характеристики Р(0). Если речь идет о скачке задающего воздействия, то Р(0) должно равняться либо 1, либо некоторому если система должна воспроизводить задающее воздействие в определенном масштабе Если же вводится скачок возмущающего воздействия то значение должно быть как можно меньше, причем в астатической системе возможно

2. Чтобы величина перерегулирования (кривая 1 на рис. 8.7, а) не превышала 18% от статического отклонения, достаточно иметь положительную невозрастающую непрерывную характеристику (кривая 1 на рис. 8.7, б),

3. Для монотонности переходного процесса (кривая 2 на рис. 8.7, а) достаточно, чтобы представляла собой отрицательную, убывающую

по модулю непрерывную функцию от (кривая 2 на рис. 8.7, б), причем

4. Простейшим признаком немонотонности переходного процесса является наличие значений (кривая 3 на рис. 8.7, б).

Рис. 8.7.

Переходный процесс тоже будет немонотонным, когда кривая располагается при каких-нибудь выше ступенчатой кривой (рис. 8.7, в), причем

где через обозначены целочисленные значения, взятые с избытком; например, если , то берется

5. В случае, если вещественная частотная характеристика имеет очертание вида кривой 3 (рис. 8.7, б), которую можно представить как разность двух положительных невозрастающих непрерывных функций, то величина перерегулирования (рис. 8.7, а) будет меньше, чем

Рис. 8.8.

6. Для монотонных процессов время затухания до значения от статического отклонения будет больше, чем . В общем же случае Вообще при прочих равных условиях переходный процесс тем быстрее затухает, чем больше т. е. чем больше растянута область положительности вещественной частотной характеристики вдоль оси .

7. Если заданную вещественную частотную характеристику можно приближенно заменить трапецией (рис. 8.8, а), то в зависимости от отношения длин оснований трапеции величина перерегулирования в процентах и время затухания переходного процесса в относительном виде

могут быть приближенно оценены графиками, показанными на рис. 8.8, б и 8.8, в, причем величина заключается в интервале

Рис. 8.9.

8. Если заданную характеристику можно приближенно заменить ломаной, изображенной на рис. 8.9, а, причем

то зависимость максимально возможного перерегулирования (в процентах) от величины отношения определяется кривой на рис. 8.9, б. При этом заданной верхней границе допустимого значения времени затухания переходного процесса соответствует нижняя допустимая граница величины интервала положительности соптш, определяемая кривой на рис. 8.9, в.

9. Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики. В частности, этот пик уходит в бесконечность, если система находится на границе колебательной устойчивости, что соответствует наличию пары чисто мнимых корней (кривая 1 на рис. 8.10). При нахождении системы на границе устойчивости, соответствующей наличию одного нулевого корня, в бесконечность уходит начальное значение ординаты Р (0) вещественной частотной характеристики (кривая 2 на рис. 8.10).

Рис. 8.10.

Рис. 8.11.

На основании вышеуказанных простых признаков можно грубо оценивать качество переходного процесса в замкнутой автоматической системе по виду ее вещественных частотных характеристик и .

Для иллюстрации, следуя В. В. Солодовникову, приведем ряд кривых переходного процесса (рис. 8.11, б), которые соответствуют

вещественным частотным характеристикам замкнутой системы изображенным на рис. 8.11, а. Наилучший переходный процесс соответствует характеристике , а наихудший характеристике , обладающей наибольшими пиками.