§ 12.7. Об оптимальном синтезе

Под оптимальной системой автоматического регулирования или управления понимается система, которой тем или иным способом приданы наилучшие качества в каком-нибудь определенном смысле. Например, система может быть спроектирована так, чтобы она имела максимальную точность выполнения возложенной на нее задачи регулирования заданного объекта. Другим примером оптимизации является существование наиболее быстрого перехода системы из одного заданного состояния в другое или вообще из любого начального состояния в требуемое заданное при заданной ограниченной управляющей силе или мощности. Третьим примером оптимизации системы является обеспечение минимума затраты энергии на выполнение задачи управления при заданных внешних условиях. Четвертым примером может быть получение максимальной надежности работы аппаратуры системы при заданном ее весе. Пятым — достижение минимальной стоимости системы при заданном качестве выполнения ею определенной задачи управления и т. д.

Важно отметить четыре общих обстоятельства для любой оптимизации систем управления и регулирования.

При оптимизации системы в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий оптимальности, выраженный в той или иной математической форме. Например, при достижении максимальной точности системы критерием оптимальности может служить минимум ошибки регулирования, выраженный в виде интеграла

где — отклонение регулируемой величины от требуемого значения. Величина называется функционалом, так как она зависит от выбора функции или, вернее, от неизвестного пока вида этой функции, который определится после расчета системы по минимуму функционала Критерием максимальной точности может являться также минимум статической ошибки при максимальном внешнем воздействии или минимум среднеквадратичной ошибки при случайном воздействии. В других случаях критерием будет минимум расхода энергии на выполнение управляемого процесса, максимум математического выражения какого-либо из показателей надежности и т. п. При этом всегда функционал конструируется таким образом, чтобы оптимальности системы соответствовал именно минимум его (а не максимум)

как в случае минимума, так и в случае максимума требуемого показателя качества системы. Это всегда можно сделать. Чащевсего критерий оптимальности задается в виде интегрального квадратичного функционала от нескольких функций:

или вообще

где С — некоторая квадратичная форма от величин — весовые коэффициенты, I может быть не только временем, но и любой другой физической или даже условной комбинированной независимой переменной, а может быть как любой физической величиной, так и любой количественной оценкой того или иного свойства создаваемой системы. Однако математическое выражение критериев оптимальности может иметь не только форму (12.121), но и любую другую форму:

Функционал, минимум которого нужно получить, в общем случае может представлять любую желаемую комбинацию оценок различных качеств задаваемой системы. Заметим, что оптимальность системы по быстродействию является простейшим частным случаем для синтеза оптимальных систем, так как в этом случае в функционале причем (время перехода системы из начального состояния в новое, заданное при

Чаще всего в качестве подынтегральных функций в (12.122) используются положительно определенные квадратичные формы от фазовых координат и управляющих величин например, в виде

Введя понятия критерия оптимальности, т. е., по сути дела, критерия качества системы, можно попытаться сформулировать задачу оптимального управления.

Пусть — матрица-столбец фазовых координат, — матрица-столбец управляющих воздействий, которые принадлежат некоторому множеству и и считаются допустимыми. Из множества допустимых управлений требуется выбрать такое, которое переводит управляемый [объект из начального положения в конечное и минимизирует принятый функционал качества. Это управление и соответствующая ему траектория называются оптимальными. Однако эта формулировка является лишь возможной, распространенной, но не единственной (см., например, § 11.9).

В условии задачи оптимизации любого одного из качеств системы фигурируют некоторые ограничения других ее свойств в виде заданной управляющей

силы или мощности, заданного веса, заданных интервалов возможного изменения параметров регулятора и объекта и т. п. При достижении максимальной точности может быть задано ограничение стоимости, веса, внешних возмущений. При достижении максимальной надежности системы может быть, кроме указанных ограничений, задано ограничение ошибок системы, или пределы допустимого отклонения параметров реальных элементов системы от их номинальных (запроектированных) значений. Для практики учет ограничений при оптимизации системы чрезвычайно важен, так как всякая реальная система характеризуется ограниченной мощностью, инерционностью и всегда целым комплексом качеств (точность, устойчивость, быстродействие, надежность, стоимость, вес, простота эксплуатации и соответствие своему практическому назначению но целому ряду конкретных физико-химических свойств), которые надо соблюсти в определенных пределах при оптимизации одного, наиболее важного из них. Оптимизироваться может также не одно качество, а определенная комбинация качеств.

Рассмотрим основные виды ограничений.

1. Ограничения на фазовые координаты и управления

При отсутствии ограничений подобного рода говорят, что задача оптимизации относится к числу вариационных задач в открытой области. Введение подобных ограничений приводит к задаче в закрытой области, что значительно усложняет решение и часто делает невозможным использование классических вариационных методов (см. главу 23).

2. Ограничения типа голономных связей

где — некоторые функции, которые в общем случае могут зависеть от времени.

3. Ограничения типа неголономных связей в виде дифференциальных уравнений

4. Изопериметрические ограничения в виде функционалов

где в правой части находятся некоторые постоянные числа, которые не должны превосходиться. В качества могут фигурировать такие величины, как, например, предельная температура нагревания, количество выделившегося тепла, расход энергии или рабочего тела и т. п.

Отличие синтеза оптимальной системы от синтеза системы по заданным показателям качества, рассмотренного ранее, состоит в том, чтобы добиться не просто требуемых показателей, а наилучших показателей, т. е. «выжать» из системы все, что она может дать по определенному виду качества, наиболее важному для этой системы, при соблюдении заданных требований по всем необходимым другим ее свойствам. Поэтому задача оптимизации систем является в существе своем задачей вариационного типа, когда требуется подобрать программу и закон регулирования, а также и параметры системы управления (регулятора) таким образом, чтобы получить минимум функционала, который в данном случае служит критерием оптимальности системы.

При оптимизации систем управления и регулирования необходимо различать два класса задач, решаемых последовательно: оптимизацию программы регулирования (или управления) и оптимизацию закона регулирования (или управления). Первый из этих классов задач возникает не всегда, а лишь тогда, когда процессы в управляемой системе (например, движение управляемого объекта, ход физического или химического процесса) задаются определенной программой изменения регулируемой величины во времени или же когда выбирается определенная связь между переменными (координатами или другими физическими величинами), которая должна соблюдаться независимо от момента времени, другими словами, когда имеется либо временная, либо параметрическая программа управления.

Примером временной программы управления может служить программа изменения угла тангажа во времени при подъеме или спуске летательного аппарата. Примером параметрической программы управления могут служить методы автоматического наведения или самонаведения, например, по принципу параллельного сближения и др.

В случае оптимизации той или иной программы управления она не задается, а отыскивается в результате расчета по какому-либо критерию оптимальности, например по минимуму затраты энергии при желаемом маневре летательного аппарата в процессе его движения или при сближении двух аппаратов в процессе наведения.

Вторым самостоятельным классом задач, как указывалось, является оптимизация закона регулирования, т. е. наилучшее построение регулятора (системы управления) для осуществления заданной программы управления. Эта задача может иметь место во всех автоматических системах независимо от того, оптимизировалась ли программа управления или она была иначе задана, в том числе и в случае простого поддержания постоянного значения регулируемой величины и в случае любой обычной следящей системы. При оптимизации закона регулирования, как и обычно, рассматриваются уравнения динамики системы в отклонениях от требуемых величин (от программы).

В настоящее время одной из основных проблем в оптимальном синтезе стала проблема весовых коэффициентов в функционалах качества типа (12.121) или (12.123). Это связано с тем, что попытка введения более или менее сложного функционала качества, учитывающего весь комплекс требований к системе регулирования (точность, расход энергии, надежность, вес, технологичность и т. п.), неизбежно приводит к необходимости сопоставить между собой отдельные требования, что и должно делаться посредством весовых коэффициентов. Однако назначение этих коэффициентов пока осуществляется произвольно и, в лучшем случае, по некоторым экспертным оценкам, что иногда дает им субъективный характер.

В связи с необходимостью удовлетворения в процессе синтеза многим различным требованиям возникла трактовка оптимального синтеза как такого построения системы регулирования или управления, при котором все необходимые требования могут быть выполнены простейшим образом [10]. В качестве критерия простоты вводится, например, функционал в частотной области

где — степень астатизма системы, — частотная передаточная функция разомкнутого канала управления.

В статических системах значение (12.128) совпадает с эквивалентной полосой пропускания разомкнутой системы, что разъясняет физическую

сущность введенного функционала. Чем меньше требуется полоса пропускания при выполнении всех качественных требований (точность, запас устойчивости, быстродействие и т. п.), тем проще реализация этой системы. В [10] показано, в частности, что приведенный в § 12.6 метод синтеза эвристическим путем приводит к минимизации функционала (12.128). Подобный метод синтеза может быть назван оптимальным синтезом по заданным качественным показателям.

Существуют различные способы оптимизации или, иначе говоря, методы синтеза оптимальных систем, как аналитические, так и машинные. В основе этих способов лежат математические вариационные методы. Каждый из них сопровождается различными вариантами приемов доведения решения задачи до конца в числовом виде. Оказывается, что это последнее представляет во многих случаях особенно трудную задачу даже при наличии решения в принципиальном виде. Поэтому чаще всего (во всяком случае для систем высокого порядка) приходится применять вычислительные машины с использованием таких вычислительных методов, как метод градиента, метод наискорейшего спуска, и других специально разрабатываемых приемов. Для некоторых простейших задач имеются аналитические решения, иногда с привлечением изображений на фазовой плоскости. Заметим, что ранее (см. § 11.9) уже был рассмотрен метод синтеза линейной оптимальной системы при случайных воздействиях по минимуму среднеквадратичной ошибки (задача Винера). Поэтому в дальнейшем изложении эта задача уже фигурировать не будет.

Оптимальные законы регулирования при учете реально имеющихся ограничений часто получаются нелинейными (см. главу 23).