§ 18.6, Частотный метод определения автоколебаний

Здесь, следуя Л. С. Гольдфарбу [32, 121], будем рассматривать простые нелинейности так как в других случаях получаются более сложные графические построения.

Пусть в нелинейной системе автоматического регулирования выделено, как обычно, нелинейное звено (рис. 16.1). Разомкнем систему указанным

на рис. 18.38, а образом, причем уравнение нелинейного звена будет

а линейной части системы —

Замыкание системы соответствует замене

Подадим на вход нелинейного звена (рис. 18.38, а) синусоидальные колебания

На выходе нелинейного звена получим согласно (18.205) вынужденные колебания

которые можно найти, например, как показано на рис. 18.38, б или в.

Разложим (18.209) в ряд Фурье и сохраним только основную синусоиду (первую гармонику), отбросив все высшие гармоники.

Рис. 18.38.

Очевидно, что это приближенное представление вынужденных колебаний эквивалентно гармонической линеаризации нелинейностей, рассмотренной в § 18.1. На основании этого для определения первой гармоники вынужденных колебаний величины можно воспользоваться частотным аппаратом, который применялся ранее для линейных систем, следующим образом.

Согласно формулам (18.9) приближенная передаточная функция нелинейного звена с уравнением будет

и

соответственно при наличии гистерезисной петли и при отсутствии ее. При этом выражения и определяются формулами (18.10).

Приближенный комплексный коэффициент усиления, или приближенная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена с уравнением при наличии гистерезисной петли, следовательно, будет

а без гистерезисной петли —

Эта приближенная амплитудно-фазовая характеристика определяет амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного звена (если на ею вход подается синусоида), а именно выражение (18.210) можно представить в виде

где

Следовательно, амплитуда первой гармоники на выходе будет , а фазовый сдвиг — , где а — амплитуда на входе нелинейного звена.

Рис. 18.39.

В результате получим следующие вынужденные колебания на выходе нелинейного звена (первая гармоника):

Например, выходная величина релейного звена с характеристикой рис. 18.1, а меняется в процессе вынужденных колебаний по закону, изображенному сплошной ломаной линией на рис. 18.38, в. Пунктиром показана

основная синусоида для нее, причем из (18.212) и (18.15) имеем;

Действительная ступенчатая кривая заменяется в данном случае синусоидой (первая гармоника), вершина которой совпадает с осью симметрии действительного прямоугольника (рис. 18.38, в).

Для нелинейных звеньев с уравнением вида без гистерезисной петли, как следует из § 18.1, . Следовательно, для таких звеньев т. е. вынужденные колебания на выходе не имеют фазового сдвига.

Рис. 18.40.

Одним из главных отличий вынужденных колебаний нелинейных систем, от линейных является их существенная зависимость не только от частоты, но и от амплитуды входных колебаний. Эту главную особенность как раз и улавливает написанное здесь приближенное выражение амплитуднофазовой характеристики нелинейного звена. В формулах (18.210)- (18.212) получилась зависимость только от амплитуды а, потому что ограничились

рассмотрением только нелинейности вида Для более сложных нелинейных звеньев в амплитудно-фазовую характеристику войдет также и частота . Кроме того, как увидим ниже, зависимость от частоты будет всегда вводиться линейной частью системы.

В § 18.1 были приведены выражения и для наиболее типичных релейных и других простейших нелинейных звеньев. На основании этого строятся приближенные амплитудные и фазовые характеристики путем вычислений по формулам (18.212). Результаты для простейших случаев приведены на рис. 18.39 и 18.40. Там приведены также и обратные амплитудно-фазовые характеристики

На графиках указаны все необходимые обозначения и типы нелинейных характеристик звеньев. Аналогичным путем можно построить графики и для других конкретных нелинейных звеньев.

Амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы согласно (18.206) имеет вид

Общая приближенная амплитудно-фазовая характеристика всей разомкнутой цепи с нелинейным звеном будет

Следовательно, амплитуда и фаза первой гармоники выходной величины определяемые формулами

зависят здесь не только от частоты , как в линейных системах, но еще и от величины входной амплитуды а.

Отыскание автоколебаний замкнутой системы. Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости (см. § 6.5) прохождением амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку , т. е. равенством . Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой нелинейной системы, которое принимается приближенно синусоидальным. Итак, имеем условие

Учитывая (18.215) и (18.213), это можно записать в виде

или

где в случае отсутствия гистерезисной петли (правая часть (18.218) в этом случае будет вещественной).

Левая часть уравнения (18.218) или (18.217) представляет собой амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы, а правая — обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена (для первой гармоники), взятую с обратным знаком. Решение этого уравнения можно получить графически как точку пересечения указанных двух характеристик

(рис. 18.41, а и б). В точке пересечения из кривой берем значение частоты а из кривой берем величину амплитуды искомого периодического решения. Рис. 18.41, а соответствует системе с нелинейным звеном, имеющим гистерезисную петлю, когда согласно (18.210) и (18.213) характеристика комплексна.

Рис. 18.41.

При отсутствии гистерезисной петли, когда Мн (а) вещественна, получаем график рис. 18.41, б.

Вместо (18.217) можно пользоваться также выражением

т. е. искать решение как точку пересечения амплитудно-фазовой характеристики нелинейного звена с обратной амплитудно-фазовой характеристикой линейной части системы, взятой с обратным знаком (рис. 18.41, в и г).

Рис. 18.42.

Устойчивость найденного периодического решения грубо оценивается следующим образом (этот метод не является строго обоснованным, но во многих случаях его применения достаточно). Дадим малое приращение амплитуде: Тогда при положительном А а получим на кривой — например, точку (рис. 18.42, а), а при отрицательном — точку

Для устойчивости периодического решения требуется, очевидно, чтобы при положительном А а колебания затухали, а при отрицательном расходились.

Для этого согласно частотному критерию в случае устойчивой или нейтральной разомкнутой цепи требуется, чтобы суммарная амплитудно-фазовая характеристика в первом случае не охватывала точку а во втором — охватывала. Но общая характеристика не чертится в рассмотренном способе. Поэтому высказанное положение надо перенести на свойства кривых .

Отсюда получаем, что для устойчивости периодического решения (если линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна) требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика линейной части не охватывала точку соответствующую положительному А а, и охватывала точку соответствующую отрицательному . По этому признаку

графики рис. 18.42, а и б (в точке В) дают устойчивое периодическое решение, которое соответствует автоколебаниям замкнутой системы с частотой и амплитудой

На графике рис. 18.42, в значения соответствуют неустойчивому, а значения — устойчивому периодическому решению. Это в простейшем случае может означать устойчивость системы в малом (до амплитуды и автоколебания с частотой и амплитудой если начальная амплитуда колебаний в переходном процессе превышает значения

В таких исследованиях предполагается, что все параметры системы заданы в числовом виде (или амплитудно-фазовые характеристики звеньев в виде определенных графиков). Если же требуется выяснить влияние одного или двух каких-нибудь параметров системы, то надо рассмотреть все возможные комбинации кривых при разных значениях этих параметров.

Рассмотрим примеры.

Система автоматического регулирования температуры.

Уравнения системы автоматического регулирования температуры с релейным звеном были описаны в примере 5 § 18.3.

рис. 18.43.

Выражение амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы с добавлением жесткой обратной связи будет

В данном случае очевидно, что общий знаменатель передаточной функции линейной части системы

не имеет корней с положительной вещественной частью, а нулевой корень говорит о том, что линейная часть системы нейтральна.

Выражение, стоящее в квадратных скобках (18.220), при кос (система без обратной связи) соответствует апериодическому звену (регулируемый объект и чувствительный элемент). Оно изображено на рис. 18.43, а. При наличии же жесткой обратной связи в системе этот график сдвигается вправо на величину кос (рис. 18.43, б).

Множитель перед квадратной скобкой (18.220) соответствует апериодическому интегрирующему звену (привод с регулирующим органом). Он изображен на рис. 18.43, в.

Перемножением этих характеристик получаем амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы (в разомкнутом состоянии)

соответственно при отсутствии обратной связи (рис. 18.43, г) и при наличии жесткой обратной связи (рис. 18.43, д). Нанесем на эти же графики кривую обратной по величине и по знаку амплитудно-фазовой характеристики — Мн (а) нелинейного звена (в данном случае — реле). Здесь эта кривая изображена в соответствии с рис. 18.39, б для того случая, когда реле характеризуется графиком рис. 18.20, а, причем

Как видно из рис. 18.43, г, в данном случае в замкнутой системе регулирования без обратной связи возможны автоколебания, так как кривые пересекаются, а введением обратной связи можно уничтожить эти автоколебания (рис. 18.43, д). Очевидно также, что и выбором параметров линейной части системы (т. е. деформацией кривой на рис. 18.43, г) можно было бы уничтожить автоколебания замкнутой нелинейной системы и без обратной связи. Напротив, неудачный выбор параметров может привести к автоколебаниям системы даже и при наличии жесткой обратной связи, если на рис. 18.43, д кривые пересекутся. Чем меньше гистерезисная петля (рис. 18.20, а), тем больше будет (рис. 18.39) и тем легче, как видно из рис. 18.39, б и рис. 18.43, г, д, сделать замкнутую систему устойчивой.

Когда реле имеет чисто гистерезисную характеристику (рис. 18.20, г), кривая — вырождается согласно рис. 18.39, б в прямую (пунктир на рис. 18.43, д), причем добиться уничтожения автоколебаний в этом случае нельзя, а можно бороться лишь за уменьшение их амплитуды.

Если в характеристике реле с зоной нечувствительности не будет гистерезисной петли (рис. 18.20, б), то согласно рис. 18.40, а и формуле (18.213) обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена — будет вещественной, как показано на рис. 18.43, ей При этом замкнутая система без обратной связи может иметь автоколебания, если примет очертание, показанное пунктиром (рис. 18.43, е). Введение же жесткой обратной связи, как видно из рис. 18.43, ж, полностью уничтожает автоколебания.

Из этого предварительного рассмотрения можно сделать вывод, во-первых, о важном стабилизирующем свойстве дополнительной жесткой обратной связи в системе и, во-вторых, о стабилизирующем свойстве зоны нечувствительности реле. С точки зрения устойчивости системы выгодно увеличивать и то и другое. Однако эти возможности ограничены из-за увеличения статической ошибки системы при усилении жесткой обратной связи и при увеличении зоны нечувствительности реле. Последнее связано с тем, что система может находиться в состоянии равновесия в любой точке зоны нечувствительности; получается не одно определенное состояние равновесия, а целая область возможных состояний равновесия с разными значениями регулируемой величины.

После сделанных предварительных заключений перейдем к определению амплитуды и частоты автоколебаний в тех случаях, когда последние имеют место.

В случае идеальной релейной характеристики в соответствии с (18.211) и (18.18) имеем

заполняет всю отрицательную вещественную ось, рис. 18.44, а). Поэтому при отсутствии жесткой обратной связи (сплошная кривая) пересекает ее, а при наличии жесткой обратной связи не пересекает (пунктирная кривая). В первом случае получаем точку пересечения определяющую периодическое решение Оно будет устойчиво (т. е. соответствует автоколебаниям), так как кривая охватывает участок прямой — с меньшими амплитудами (линейная часть согласно (18.221) нейтральна, вследствие чего этот критерий можно применять). Во втором же

случае кривая пересекается с прямой — только в точке, где т. е. автоколебания отсутствуют (конечная амплитуда получится, если учесть постоянную Т).

Амплитуда автоколебаний в первом случае определяется по расстоянию (рис. 18.44, а) на линии — до точки пересечения, причем с учетом (18.222) получаем

где I берется из графика или вычисляется по формуле

причем величина частоты автоколебаний находится из условия

если обозначают вещественную и мнимую части выражения при , т. е.

Отсюда видно, например, что с увеличением передаточного числа регулятора увеличивается амплитуда автоколебаний.

Для характеристики реле в виде рис. 18.20, а поведение системы без жесткой обратной связи поясняется рис. Здесь автоколебания могут отсутствовать (кривая 1 рис. 18.44, б), возможно одно периодическое решение (кривые 2 и 3. пересекающиеся в точке В) или два периодических решения (кривые 2 и 4, пересекающиеся в точках А и С). При этом кривая 3 соответствует меньшим, а кривая 4 — большим значениям в релейной характеристике (см. рис. 18.39). Точки В и А отвечают устойчивым автоколебаниям. Точка С отвечает неустойчивому периодическому процессу, что может означать устойчивость системы в малом (при и стремление к автоколебательному процессу с амплитудой в большом. Величины амплитуды и частоты автоколебаний определяются по самим кривым в точках их пересечения.

Рис. 18.44.

В данном случае влияние величины передаточного числа регулятора без жесткой обратной связи заключается в том, что с увеличением осуществляется переход от кривой 1 к кривой 2 (рис. 18.44, б), т. е. автоколебания в системе появляются только тогда, когда передаточное число превзойдет некоторое граничное значение, определяемое моментом касания кривой 1 с кривой 3 или 4.

Аналогично определяются автоколебания и при наличии жесткой обратной связи, как показано на рис. 18.44, в.

Наконец, при чисто гистерезисной характеристике реле получаем только автоколебательный процесс (рис. 18.44. г), амплитуда и частота

которого без жесткой обратной связи определяются точкой Е, а при наличии жесткой обратной связи — точкой Н.

Во всех рассмотренных случаях, как и вообще в рассматриваемом частотном методе, через обозначается амплитуда автоколебаний входной величины нелинейного звена, т. е. в данном случае величины х. Чтобы определить амплитуду автоколебаний регулируемой величины 0 (температуры), надо найти передаточную функцию, связывающую величины х и 0;

и следовательно,

Для системы без обратной связи

Аналогично можно определить амплитуду первой гармоники автоколебаний для других переменных в данном системе.

Учет временного запаздывания в реле.

В рассмотренном выше примере системы автоматического регулирования температуры, считалось, что в характеристике реле рис. 18.20 величины заданы постоянными, т. е. считалось, что характеристики реле имеют обычный гистерезисный вид с заданным по входной координате отставанием в срабатывании реле.

Рис. 18.45.

Теперь же будем считать, что имеются данные запаздывания во времени срабатывания и отпускания реле (одинаковые). Такое нелинейное звено с запаздыванием можно разбить на два элемента: 1) обычное нелинейное звено, характеризующееся графиком рис. 18.45, б или в, и 2) элемент запаздывания (рис. 18.45, а), описываемый уравнением

Тогда можно будет записать выражение амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы вместе с элементом запаздывания в виде

Правило построения такой характеристики описано в главе 14.

Пусть реле (после выделения элемента запаздывания) характеризуется графиком рис. 18.45, б. В этом случае для системы с жесткой обратной связью получим соответственно кривые изображенные на рис. 18.45, г, а также прямую — на основании формулы (18.213) и рис. 18.40, а. Если кривые и — пересекаются, то будут иметь место автоколебания. Но, как видно из рис. 18.45, г, при достаточно малых запаздываниях указанные кривые могут не пересекаться, т. е. автоколебаний не будет.

Здесь, как и в линейных системах, можно определить критическое время запаздывания, до которого автоколебания отсутствуют, без построения кривой а только по кривым . В самом деле, в критическом случае некоторая точка кривой попадет в крайнюю точку В (рис. 18.45, г). Это, как видно из чертежа, соответствует такой точке К кривой в которой

Из первого условия определяется величина и из второго — критическое время запаздывания:

Такое решение можно найти непосредственно из графика или же аналитически, используя выражение (18.220).

Если же реле не имеет зоны нечувствительности, т. е. то точка В попадет в начало координат на рис. и автоколебания будут при любом значении времени запаздывания в срабатывании реле Поэтому выгодно, чтобы временное запаздывание в реле, рассматриваемое здесь, было бы сравнительно малым, а зона нечувствительности имела бы большую величину (но не превышала допустимых значений, полученных из статического расчета точности регулирования).

Амплитуда и частота автоколебаний при наличии запаздывания определяются следующим образом. Точка пересечения D (рис. 18.45, г) дает два периодических решения, так как в пей на прямой — имеются два значения а. Это следует из графика рис. 18.40, а, причем на основании (18.16) имеем

что изображается графиком рис. 18.45, д. Расстоянию от начала координат I точки пересечения D на рис. 18.45, г соответствуют две точки графика на рис. которые дают два значения амплитуды: Частота обоих периодических решений одинакова и определяется точкой D на кривой

При этом периодическое решение с меньшей амплитудой будет неустойчивым, а с большей амплитудой — устойчивым, так как в первом случае точка с положительным приращением на линии — охватывается кривой а во втором случае — не охватывается. Следовательно, могут иметь место устойчивость системы в малом (до амплитуд и автоколебательный процесс с большой амплитудой, к которому стремится система при начальных амплитудах переходного процесса, превышающих значение

Заметим, что точку пересечения D кривой с линией — можно найти без построения кривой непосредственно по амплитудно-

фазовой характеристике линейной части системы без элемента запаздывания. Для этого нужно на кривой найти такую точку , которая бы при повороте вектора на угол тсоп попала на линию что и даст нам точку D (величина запаздывания задана, неизвестна). Условие для определения будет

после этого находится величина , а затем амплитуда автоколебаний по графику рис. 18.45, д.

В данном параграфе применялись амплатудно-фазовые частотные характеристики. Использование логарифмических частотных характеристик см. в § 20.4.

В заключение заметим, что при исследовании нелинейных автоматических систем применяются еще приближенные методы Б. В. Булгакова (см. [19] или [98]), которые здесь не излагаются.