§ 20.4. Применение логарифмических частотных характеристик для исследования нелинейных законов рзгулирования

Аппарат логарифмических частотных характеристик является простым расчетным средством линейной теории регулирования. Многие расчеты нелинейных систем, основанные на гармонической линеаризации нелинейностей, могут быть также переложены на язык логарифмических частотных характеристик. Однако, имея в виду желательность наибольшей простоты расчета, будем здесь вместо гармонического коэффициента усиления применять эквивалентный коэффициент усиления нелинейного звена к

Это выражение является точным для любой заданной точки графика . Требуется определить коэффициент усиления амплитуды колебаний. Выше он записывался в виде . Теперь же введем коэффициент

усиления амплитуды в виде

Большое его практическое преимущество состоит в простоте вычисления к по виду и обратно, что затруднено в гармонической линеаризации. Строго говоря, это выражение соответствует не синусоидальным, а прямоугольным колебаниям (рис. 20.22), где действительно а (прямоугольная линеаризация). Однако вычисления показывают, что значения и для многих типовых нелинейностей отличаются друг от друга всего на несколько процентов, что вполне приемлемо для приближенных инженерных расчетов.

Проиллюстрируем метод исследо вания на примере системы с нелинейным законом регулирования, формируемым в нелинейных блоках и (рис. 20.23), при учете нелинейности в виде ограничения по скорости исполнительного привода. Система имеет три контура: внутренний контур промежуточный контур 2, внешний контур 3.

Параметры внутреннего контура и объекта управления заданы. Задача состоит в отыскании структуры и параметров нелинейных блоков промежуточного и внешнего контуров, т. е. нелинейных передаточных функций обеспечивающих наилучшие характеристики управления величинами и z в смысле устойчивости, а также точности стабилизации z при воздействии на систему возмущений

Рис. 20.22.

Рис. 20.23.

Передаточная функция внутреннего контура тоже будет нелинейной:

где

При этом с увеличением сигнала а (при ) значение постоянной времени увеличивается.

Передаточная функция разомкнутого промежуточного контура для рассматриваемого примера будет

Если внутренний контур работает в линейной зоне (т. е. при то по линейной теории регулирования рекомендуется выбрать структуру блока в виде

причем, на основании требований к быстродействию и к величине перерегулирования,

где — некоторое число, выбор которого зависит от того, какой коэффициент колебательности и запас по фазе необходимо обеспечить, а — постоянная времени рулевого тракта при т. е.

0 куксос

При выборе параметров регулятора по формулам (20.75) частота среза будет лежать на ветви логарифмической амплитудно-частотной характерики с наклоном в , посредине участка шириной декад.

Однако при внутренний контур будет работать в зоне насыщения скоростной характеристики и постоянная времени будет увеличиваться с увеличением . Это может привести при выбранных выше параметрах значительной колебательности и даже потери устойчивости в случае, когда

Поэтому для обеспечения устойчивости при необходимо брать значения завышенными, но тогда окажутся неудовлетворительными характеристики стабилизации при , т. е. невозможно обеспечить хорошую настройку системы регулирования с помощью постоянных и Та для всех режимов. В таком случае вместо (20.74) целесообразно вводить нелинейный закон регулирования, при котором параметры блока будут зависеть от величины сигнала.

Рис. 20.24.

Стабилизация фазовой характеристики.

За счет влияния нелинейности внутреннего контура наблюдается зависимость частотных характеристик не только от частоты (как в линейных системах), но и от амплитуды сигнала на входе а. В результате амплитудная и фазовая частотные характеристики будут «плавать» с изменением амплитуды а, как показано на рис. 20.24 для некоторых двух значений а, и Условие стабилизации фазовой характеристики можно записать в виде

Передаточной функции (20.73) соответствует выражение для фазовой характеристики

Но

где

кукосс

Поэтому условие стабилизации фазовой характеристики (20.77) принимает вид

или

Отсюда, взяв нелинейную передаточную функцию в виде

получим условия

В частности, если принять то

На рис. 20.25 представлена схема соответствующего нелинейного блока с передаточной функцией

Видно, что при значении можно с достаточным приближением реализовать стабилизацию фазовой характеристики.

На рис. 20.26 изображена л. а. х. разомкнутого промежуточного контура, построенная по передаточной функции

(пунктиром показана характеристика без учета нелинейного корректирующего контура а на рис. 20.27 изображены стабилизированные за счет нелинейной коррекции амплитудная и фазовая характеристики данной нелинейной системы для промежуточного контура 2 (рис. 20.23).

Рис. 20.25.

Можно рекомендовать иной способ стабилизации фазовой характеристики, используя управляющую функцию вида

В этом случае отрицательное влияние постоянной времени скомпенсируется введением дополнительного демпфирования с помощью слагаемого

Аналогичными приемами можно стабилизировать запас по фазе, показатель колебательности и т. п., т. е. исключить плавание этих характеристик из-за нелинейности при изменении величины сигнала.

Рис. 20.26.

Рис. 20.27.

Обеспечение повышенной точности внешнего контура.

Поставим задачу выбора структуры и параметров блока (рис. 20.23), обеспечивающего устойчивость внешнего контура и повышенную точность стабилизации величины z с учетом ранее выбранной структуры и параметров первого и второго контуров.

Передаточная функция промежуточного контура по отношению к управляющему воздействию будет

Если рассматривать наиболее характерные частоты, влияющие на работу внешнего контура, т. е. , то получим

Тогда

В случае линейной системы блок имеет структуру (20.74), а блок внешнего контура должен иметь следующую структуру;

причем по рекомендации линейной теории

где — некоторое число, выбор которого зависит от требований к колебательности и запасу по фазе внешнего контура.

Зависимость установившейся ошибки от возмущений определяется формулой

Для уменьшения установившейся ошибки при ранее выбранном необходимо увеличивать . Однако предельное значение ограничено требованием обеспечения устойчивости системы.

Для уменьшения установившейся ошибки можно рекомендовать нелинейный закон регулирования, например, в виде

Тогда

где

Рис. 20.28.

Передаточная функция разомкнутого внешнего контура

На рис. 20.28 представлены логарифмические амплитудные частотные характеристики, соответствующие этой передаточной функции. Характерно, что частота среза в данном случае не зависит от величины сигнала Характеристика 1 соответствует малым сигналам, большим сигналам.

Величина установившейся ошибки в данной системе будет

Расчеты и моделирование показывают, что таким путем можно в несколько раз повысить установившуюся точность по сравнению с линейным законом регулирования при сохранении устойчивости и требуемых запасов по фазе и по амплитуде.