§ 4.4. Логарифмические частотные характеристики

Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции (4.16):

Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой — фаза.

Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику Для построения л. а. х. находится величина

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела — в 100 раз, 3 бела — в 1000 раз и т. д.

Децибел равен одной десятой части бела. Если бы было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (4.19) должен был бы стоять множитель 10. Так как представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т. п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (4.19) стоит множитель 20.

Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз, т. е. представляет сравнительно малую величину.

Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции (4.19) приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х. может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину.

Рис. 4.10.

Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай.

Однако л. а. х. может условно строиться и для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. В этом случае некоторая исходная величина, соответствующая размерности передаточной функции, принимается за единицу (например, и т. п.) и под значением понимается отношение модуля частотной передаточной функции к этой исходной единице.

Это же замечание относится и к угловой частоте со, которая имеет размерность и которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным.

Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка (рис. 4.10). По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом

масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие а около отметок пишется само значение частоты в рад Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага. Однако удобнее использовать обычную миллиметровую бумагу, но масштаб по оси абсцисс наносить при помощи какой-либо шкалы счетной логарифмической линейки.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля так как логарифм единицы равен нулю.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка со — 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х. Как будет показано ниже, для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты л. а. х.

Рис. 4.11.

Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот).

По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе.

Для практических расчетов, как это будет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна —180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх; а положительный — вниз.

Иногда по оси абсцисс указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис. 4.11). Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, т. е. удесятерению частоты. Применяется также деление шкалы на октавы. Одна октава соответствует удвоению частоты. Так как , то одна октава соответствует 0,303 декады. Использование на оси абсцисс декад и октав значительно менее удобно, так как при этом оцифровка шкалы получается не в единицах частоты, а в единицах логарифма частоты, что в сильной степени снижает преимущества применения логарифмических частотных характеристик.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л. а. х. может быть найдена суммированием ординат л. а. х., соответствующих отдельным сомножителям. Часто не требуется даже такого суммирования и результирующая л. а. х. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. х., представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дб/дек. Это будет показано ниже при рассмотрении конкретных звеньев.

Для иллюстрации простоты построения л. а. х. рассмотрим несколько важных примеров.

1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу тогда

Л. а. х. представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис. 4.10).

2. Рассмотрим случай, когда Тогда

Нетрудно видеть, что это — прямая линия, проходящая через точку с координатами и имеющая отрицательный наклон 20 дб/дек, так как каждое удесятерение частоты вызовет увеличение на одну единицу, т. е. уменьшение на 20 дб (прямая 2 на рис. 4.10). Наклон 20 дб/дек приблизительно равен наклону (точнее, так как

Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти, положив или, соответственно, . Отсюда получаем так называемую частоту среза л. а. х., равную в данном случае Очевидно, что размерность коэффициента должна быть .

3. Аналогичным образом можно показать, что в случае представляет собой прямую с отрицательным наклоном (прямая 3 на рис. 4.10). Вообще для представляет собой прямую с отрицательным наклоном или дб/окт. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке или по частоте среза Очевидно, что размерность коэффициента должна быть

Рис. 4.12.

4. Рассмотрим случай, когда Тогда

Нетрудно видеть, что это — прямая линия, проходящая через точку и имеющая положительный наклон Эта прямая может быть построена также по частоте среза соср полученной приравниванием (прямая 4 на рис. 4.10).

Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда представляет собой прямую линию с положительным наклоном Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке или по частоте среза

Иногда при расчете автоматических систем употребляются логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (л. а. ф. х.). В соответствии с выражением (4.18) они строятся в координатах «модуль в децибелах — фаза» (рис. 4,12) или «модуль в децибелах — запас по фазе». Под запасом по фазе понимается величина

Эта величина также показана на рис. 4.12. Обычно пределы изменения фазы принимаются от 0 до —180°, что соответствует изменению запаса по фазе от 180° до 0. В том случае, если часть кривой не умещается на используемой сетке вследствие больших фазовых сдвигов строится «зеркальное» изображение л. а. ф. х., что показано на рис. 4.12 пунктиром.

На л. а. ф. х. для ориентировки могут наноситься точки, соответствующие определенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в рад/сек.