§ 24.2. О синтезе систем регулирования с ЦВМ

Синтез систем регулирования с ЦВМ наиболее просто производить на основе той методики, которая была изложена в § 12.6 для непрерывных систем. Покажем, как можно перенести ее на дискретные системы регулирования.

Как и в случае непрерывных систем, будем определять качество переходного процесса устойчивых дискретных систем, точнее их запас устойчивости, по показателю колебательности, соответствующему максимуму амплитудной частотной характеристики замкнутой системы:

Соотношение (24.24) полностью аналогично соответствующему соотношению для непрерывных систем. Поэтому получение требуемого показателя колебательности может быть обеспечено выполнением условия для л. а. х. разомкнутой системы подобно тому, как это было сделано в § 12.6 для непрерывных систем.

Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением систем с астатизмом не выше второго порядка, хотя методика остается применимой и в случае более высокого порядка астатизма. Пусть передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы имеет вид

При построении л. а. х. следящей системы с учетом ЦВМ введем следующие предположения.

1. Величина, обратная периоду дискретности Г, больше половины частоты среза л. а. х. непрерывной части системы, т. е. При расчете следящих систем с ЦВМ это неравенство приходится выполнять практически во всех случаях в связи с требованиями по устойчивости и запасу устойчивости.

2. Все постоянные времени можно разделить на две группы. К первой группе отнесем те из них, которым соответствуют сопрягающие частоты, меньшие частоты среза соср (большие постоянные времени). Ко второй группе отнесем те постоянные времени, которым соответствуют сопрягающие частоты большие, чем частота среза (малые постоянные времени), причем для каждой постоянной времени второй группы должно выполняться неравенство

3. Постоянным временем соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза. Это не относится к тем постоянным времени числителя передаточной функции разомкнутой непрерывной части, которые были введены для компенсации некоторых ее полюсов и поэтому после сокращения соответствующих множителей не вошли в окончательное выражение (24.25).

4. Переход оси нуля децибел асимптотической л. а. х. непрерывной части происходит при отрицательном наклоне 20 дб/дек.

Л. а. х. системы с ЦВМ в области низких частот.

Рассмотрим построение л. а. х. для (24.25) в области низких частот, т. е. левее частоты среза. Передаточная функция непрерывной части для этой области может быть представлена в виде

Очевидно, что вследствие условия 4 имеем равенство Разложим (24.26) на простые дроби:

где — коэффициенты разложения, представляет собой условную добротность по скорости, а

На основании (24.9) дискретная передаточная функция, соответствующая (24.26), будет

где

Перейдем к дискретной частотной передаточной функции посредством использования -преобразования (15.163) и подстановки (15.164). В результате получим

где абсолютная псевдочастота

Ранее было сделано допущение, что Поэтому можно считать

откуда окончательно

Сравнение последнего выражения с (24.27) показывает, что в низкочастотной области частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой и умножением на дополнительный множитель Псевдочастота X в этой области практически совпадает с частотой входного воздействия что вытекает из (24.31). Так как было принято, что то влияние дополнительного множителя при построении асимптотической л. а. х. можно не учитывать. Поэтому в низкочастотной области асимптотическая л. а. х. системы с ЦВМ практически сливается с л. а. х. непрерывной части, причем можно положить . Это дает большие удобства в формировании низкочастотной части л. а. х. проектируемой системы и позволяет полностью использовать ту методику, которая была изложена выше для непрерывных систем.

Л. а. х. системы с ЦВМ в области высоких частот.

В соответствии с принятыми условиями передаточная функция непрерывной части для этой области может быть представлена в виде

где частота среза асимптотической л. а. х.

Разложим (24.33) на простые дроби:

Аналогично предыдущему найдем частотную передаточную функцию переходом к псевдочастоте:

Так как то можно положить

Учитывая, что

получаем в результате

Это выражение и может использоваться для построения л. а. х., причем модуль (24.36)

Начало л. а. х. в высокочастотной области сливается с концом л. а. х. низкочастотной области в точке .

При построении фазовой характеристики следует учитывать появление множителя соответствующего неминимально-фазовому звену. Для построения фазовой характеристики можно воспользоваться результирующим выражением для дискретной частотной передаточной функции, которое на основании изложенного будет

Результирующий фазовый сдвиг

В районе частоты среза при можно считать с достаточной точностью

В результате при построении высокочастотного «хвоста» приходится учитывать сумму малых постоянных времени и дополнительный множитель Последний приводит к подъему л. а. х. на высоких частотах и дает дополнительный фазовый сдвиг в отрицательную сторону, равный Методика расчета следящих систем с ЦВМ и здесь совпадает с методикой расчета непрерывных систем, изложенной выше. Только формула (12.96) должна быть переписана в виде

Аналогичным образом для «несимметричных» л. а. х. типа (рис. 12.18) систем с астатизмом первого порядка можно показать, что вид л. а. х. в низкочастотной области сохраняется, а требуемый запас устойчивости получится при

Последнее выражение является достаточным, если имеется хотя бы одна постоянная времени, по величине большая чем . Если для всех постоянных времени выполняется условие то для предотвращения захода высокочастотного хвоста л. а. х. в запретную зону (рис. 12.16) необходимо выполнить дополнительное условие

При построении л. а. х. для систем с ЦВМ можно не вводить специального обозначения для псевдочастоты X, а употреблять обычное обозначение

считая, что в области рабочих частот (левее частоты среза) это есть частота входного воздействия, а в высокочастотной области она переходит в псевдочастоту.

Сделаем теперь два замечания. Первое относится к случаю наличия в передаточной функции непрерывной части (24.25) сомножителей, соответствующих колебательным звеньям с передаточной функцией

Если выполняется условие то дискретная частотная передаточная функция для подобного сомножителя совпадает с частотной передаточной функцией непрерывного звена и она может быть получена подстановкой и умножением на

Рис. 24.8.

При построение л. а. х. несколько усложняется вследствие явления транспонирования частот. Однако и здесь не возникает никаких принципиальных трудностей [10].

Второе замечание касается последней части условия 2, которое было сформулировано выше при построении л. а. х. для передаточной функции (24.25). Если для всех постоянных времени условие не выполняется, то построение л. а. х. делается следующим образом. Строится соответствующая передаточной функции непрерывной части (рис. 24.8). Затем проводится вертикальная линия, соответствующая граничной частоте расположенная левее граничной частоты, соответствует низкочастотной части, и она может быть принята в качестве л. а. х. дискретной системы, так как в этой области абсолютная псевдочастота совпадает с обычной частотой .

Далее находится формула, соответствующая высокочастотной части л. а. х. непрерывной системы, аналогичная формуле (24.33). Пусть, например, пересечение граничной частоты происходит при наклоне асимптоты 40 дб/дек так, как это показано на рис. 24.8. Тогда уравнение высокочастотной части будет

где частота пересечения оси частот асимптотой, имеющей отрицательный наклон 40 дб/дек.

Раскладывая выражение (24.44) на простые дроби, переходя к а затем к получим аналогично формуле (24.36) для высокочастотной части

где

Если выполняется условие то формула (24.45) упрощается:

В соответствии с выражением для строится высокочастотная часть л. а. х., которая показана на рис. 24.8 пунктиром.

Построение фазовой характеристики делается аналогично изложенному выше.

Таким же способом строится высокочастотная часть л. а. х. при пересечении граничной частоты асимптотой Во всех случаях формирование высокочастотной части делается по сумме малых постоянных времени, которым соответствуют сопрягающие частоты, находящиеся правее граничной частоты

Пример. Произведем расчет следящей системы с астатизмом второго порядка при следующих исходных данных;

1) максимальная входная скорость йтах

2) максимальное входное ускорение ;

3) максимальная допустимая ошибка угл.

4) непрерывная часть содержит постоянные времени сек, сек сек;

5) допустимый показатель колебательности

Требуется определить параметры непрерывной части системы и допустимый период повторения ЦВМ.

Решим задачу вначале для случая

Передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы, структурно устойчивой в замкнутом состоянии, должна иметь вид

где — постоянная времени, вносимая корректирующим звеном дифференцирующего типа.

Так как высокочастотная часть после частоты среза в рассматриваемом идеализированном случае представляет собой прямую с наклоном 20 дб/дек, то вся частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена подстановкой где — псевдочастота, и введением дополнительного множителя

Л. а. х. для нее построена на рис. 24.9, а.

На этом же рисунке построена запретная зона для л. а. х. на основании условий по точности и в соответствии с рис. 12.11. Базовая частота (12.76)

Требуемое значение общего коэффициента усиления при совпадении первой асимптоты л. а. х. с границей запретной зоны (рис. 12.24)

В соответствии с расчетом, проделанным выше, для л. а. х., изображенной на рис. 12.14 и рис. 24.7, получаем требуемое значение постоянной времени

Частота среза л. а. х.

В соответствии с формулой (24.41) получаем далее

откуда допустимый период дискретности сек. В случае учета постоянных времени имеем

и допустимый период дискретности сек.

Аналогичные расчеты для случая дают — 0,2 сек, сек (при ) и Т = 0,026 (при ).

Рис. 24.9.

На рис. 24.9, б для иллюстрации построены переходные процессы при воздействии на входе в виде единичной ступенчатой функции. Переходные процессы построены посредством разложения в ряд Лорана -преобразования выходной величины.

Таким образом, синтез следящих систем методом л. а. х. на основе частотных критериев качества (по точности и запасу устойчивости) оказывается применимым и для систем, содержащих в своем контуре ЦВМ. При этом все расчеты сохраняют свою простоту и наглядность.

Для расчета удобно применять абсолютную псевдочастоту, которая в области низких частот (левее частоты среза) совпадает с обычной угловой частотой .

Рис. 24.10.

При этом в области высоких частот л. а. х. приходится строить по сумме малых постоянных времени. Влияние квантования по времени, вносимое ЦВМ, легко учитывается при построении только л. а. х., без необходимости рассмотрения фазовой характеристики.

Для облегчения процесса синтеза можно ввести понятие типовых л. а. х. систем регулирования с ЦВМ. На рис. 24.10, а приведены типовые л. а. х. для статической системы и астатической первого и второго порядков без учета временного запаздывания. На рис. 24.10, б изображены

Таблица 24.1. Типовые передаточные функции

соответствующие им л. а. х. непрерывной части, а в табл. 24.1 приведены передаточные функции.

Синтез непрерывных корректирующих средств.

При использовании для коррекции системы непрерывных средств возможно применение корректив рующих средств трех основных видов: последовательных, параллельных и обратных связей (рис. 10.1). Наиболее просто производится расчет корректирующих средств последовательного типа. В этом случае дискретная передаточная функция разомкнутой системы должна равняться желаемой передаточной функции

Здесь представляет собой дискретную передаточную функцию последовательно включенных корректирующего звена с передаточной функцией и непрерывной части с передаточной функцией . Напомним, что Поэтому расчет последовательных корректирующих средств в дискретных системах не является столь простой задачей, как в непрерывных системах.

Однако выше было показано, что л. а. х. дискретных систем, построенные в функции абсолютной псевдочастоты для частот практически сливаются с л. а. х. непрерывной части. Поэтому можно воспользоваться известными приемами расчета последовательных корректирующих средств, если в качестве желаемых л. а. х. использовать характеристики, соответствующие передаточным функциям непрерывной части.

Требуемый вид последовательного корректирующего звена определяется в этом случае по виду л. а. х., полученной вычитанием ординат л. а. х. нескорректированной системы из ординат желаемой (типовой) л. а. х.

Рассмотрим иллюстративный пример [10].

Пример. Произведем расчет системы с астатизмом первого порядка по следующим исходным данным: максимальная скорость слежения максимальное ускорение слежения етах ; максимальная допустимая ошибка угл. допустимый показатель колебательности шаг выдачи данных ЦВМ (период дискретности) сек; передаточная функция непрерывной части имеет вид

где сек.

Определим вид и параметры последовательного корректирующего звена, которое должно быть включено в непрерывную часть системы, а также необходимое значение общего коэффициента усиления К.

Левее частоты среза л. а. х. дискретной системы совпадает с л. а. х. ее непрерывной части, а псевдочастота X — с реальной частотой о. Поэтому формирование желаемой л. а. х. левее частоты среза произведем обычными приемами.

Построим запретную зону для л. а. х. из условий точности (рис. 24.11). Контрольная частота

Модуль передаточной функции разомкнутой системы при

Рис. 24.11.

По этим данным на рис. 24.11 построены контрольная точка и запретная зона, сформированная из прямых с наклоном 20 и (наклоны 1 и 2).

Желаемая л. а. х. в низкочастотной области формируется так, чтобы она проходила выше точки А к на 3 дб (в линейном масштабе — Она состоит из отрезков прямых с наклонами 1—2—1. В низкочастотной области частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Параметры желаемой л. а. х. и передаточной функции разомкнутой системы в низкочастотной области определим в следующем порядке.

Базовая частота л. а. х.

Постоянная времени корректирующего звена, формирующая первый излом л. а. х.,

Для получения заданного показателя колебательности должно выдерживаться условие (формула 12.86)

Отсюда получаем значение второй постоянной времени корректирующего звена:

Далее определяем необходимое значение общего коэффициента усиления:

и частоту среза

Для обеспечения заданного показателя колебательности в высокочастотной области должно удовлетворяться неравенство (24.41):

где — сумма постоянных времени меньших, чем

Отсюда получаем допустимое значение для суммы постоянных времени:

На рис. 24.11 пунктиром построена л. а. х. непрерывной части нескорректированной системы, сплошной линией — желаемая (скорректированная) л. а. х. непрерывной части. В низкочастотной области (до частоты среза она совпадает с л. а. х. дискретной системы (см. рис. 24.10, а; на рис. 24.11 л. а. х. дискретной системы не изображена). В области высоких частот вид желаемой л. а. х. непрерывной части, вообще говоря, может быть произвольным. Важно только, чтобы сумма постоянных времени не превышала допустимого значения.

Наиболее простые корректирующие звенья получаются в тех случаях, когда сопрягающие частоты л. а. х. нескорректированной системы и желаемой л. а. х. совпадают между собой. В рассматриваемом примере

Целесообразно принять

Тогда

Вычитая из ординат желаемой л. а. х. ординаты характеристики нескорректированной системы, получим искомую л. а. х. последовательного

корректирующего звена. Она соответствует интегро-дифференцирующему звену с передаточной функцией

где

Из приведенного примера видно, что при синтезе непрерывных последовательных корректирующих устройств метод логарифмических частотных характеристик не теряет своей простоты и наглядности.

Можно показать [131], что при наличии временного запаздывания допустимый период повторения ЦВМ должен быть снижен в соответствии с формулой

где Т — допустимый период повторения, полученный в результате синтеза системы без учета запаздывания. Время запаздывания где .

Если время запаздывания соответствует целому числу периодов, то формула (24.48) становится точной;