§ 12.3. Метод корневых годографов

Качество системы регулирования с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т. е. расположением нулей и полюсов передаточной функции (§ 8.0).

Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней. При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым годографом или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.

Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное

для регулируемой величины при наличии задающего воздействия (5.3);

где

Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмущающего воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях.

Передаточная функция замкнутой системы

Полюсы передаточной функции, т. е. корни знаменателя, обозначим через а ее нули (корни числителя) — через .

Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным образом выражены через параметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра Р (постоянная времени, коэффициент усиления и т. п.), входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные числовые значения внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной системе регулирования. Для каждого из этих вариантов необходимо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней.

Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя каждый раз один из параметров при заданных значениях всех остальных.

Вычисление корней при этом можно производить любым численным методом, возможно более простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большой точности вычислений. В настоящее время имеются электрические устройства, позволяющие строить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения.

Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например, метод последовательных делений [98].

Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э. Г. Удерманом [128], в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специально приспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутой системы (5.10), которую запишем следующим образом;

Здесь — общий коэффициент усиления разомкнутой системы, имеющий размерность , где — степень астатизма; — операторная часть передаточной функции разомкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде

Обозначим полюсы и нули передаточной функции разомкнутой системы соответственно через Тогда

где

Каждый сомножитель в выражении (12.32) можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис, 12.1), где — текущая точка. Обозначим длину (модуль) каждого вектора в знаменателе (12.32) через а в числителе — через Соответственно угол между вектором и положительным направлением оси вещественных (аргумент) для знаменателя обозначим , а для числителя — По правилу перемножения комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что будет представлять собой вектор с длиной и аргументом причем

где

Подставив (12.33) в выражение (12.31), получим

откуда вытекают два равенства:

Траектории корней (рис. 12.1) строятся таким образом, чтобы они удовлетворяли условию (12.38).

Рис. 12.1.

После этого по формуле (12.34) для каждой конкретной комбинации корней можно вычислить А и величину а затем по формуле (12.37) — общий коэффициент усиления К.

Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства.

1. При корни характеристического уравнения замкнутой системы совпадают с полюсами передаточной функции разомкнутой системы или , так как согласно (12.31) при имеем

2. При корни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, так как при из (12.31) получаем Но количество нулей равно в то время как количество корней Поэтому остальные корней уходят в бесконечность, так как еще при Для последних корней можно определить направления асимптот на основании (12.31) и (12.32). При больших имеем соответственно

откуда аргумент комплексного числа будет и, значит, аргумент числа т. е. наклон искомых асимптот, будет

3. На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой, соединяющие нули и полюсы функции , расположенные на этой оси. Началом траекторий на вещественной оси служит нуль, расположенный правее всех остальных.

4. Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение точки в которой траектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулей функции , расположенных на оси влево от искомой точки, должно уничтожаться приращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей расположенных вправо от этой точки.

Так, например, пусть имеется функция

При траектории исходят из точек лежащих на вещественной оси. Отрезки траекторий лежат между точками и между

Применяя правило 4, можем записать

Решение этого квадратного уравнения дает

5. Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правую полуплоскость комплексной переменной , часто можно оценить, пренебрегая влиянием малого по абсолютной величине полюса функции .

Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42). При значительных по модулю величинах комплексной переменной эту функцию можно с хорошей точностью аппроксимировать функцией

Тогда (рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенству

и

Рассматривая график на рис. 12.2, можно заметить, что

откуда следует, что . Это равенство и представляет собой условие для определения точки пересечения В.

6. Направление касательной к траектории при выходе ее из какого-либо полюса или при подходе к какому-либо нулю нетрудно определить путем вычисления угла между этой касательной в данном полюсе или нуле и вещественной осью.

Рис. 12.2.

Рис. 12.3.

При таком вычислении используется зависимость (12.38) для аргументов всех нулей и полюсов, расположенных по условию в левой полуплоскости комплексной переменной .

На рис. 12.3 изображены траектории корней передаточной функции , имеющей два нуля и два полюса на вещественной оси и одну пару комплексных сопряженных полюсов. При достаточно малом удалении точки от полюса углы соответствующие остальным нулям и полюсам, останутся неизменными. Таким образом, в силу (12.38) угол найдется из уравнения

Перечисленные правила определяют основные свойства траекторий корней. Траектории вне нулей и полюсов функции находятся с помощью построения по точкам, после чего можно определить характер изменения К вдоль построенной таким образом кривой. После того как выбрано желаемое расположение корней характеристического уравнения, находится соответствующее значение К. Более подробно см. [128].