§ 12.2. Корневой метод

Наиболее простой корневой метод разработан Т. Н. Соколовым [117]. Сущность его сводится к следующему.

Пусть имеется характеристическое уравнение системы

С точки зрения скорейшего затухания переходного процесса важно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были наибольшими. Сумма вещественных частей всех корней численно равна первому коэффициенту характеристического уравнения (12.1). Поэтому при заданной величине этого коэффициента наивыгоднейшие результаты получаются при равенстве вещественных частей всех корней. Однако расчеты и исследования построенных систем показывают, что стремление удовлетворить поставленному требованию приводит к совершенно нереальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Эти расчеты и исследования показывают, что из общего числа корней характеристического уравнения всегда можно выделить два или три корня с меньшей по абсолютному значению вещественной частью, которые и определяют ход основного процесса. Остальные же корни характеризуют быстро затухающие составляющие, оказывающие влияние только на начальной стадии переходного процесса.

Примем, что основной характер переходного процесса определяется двумя корнями. Тогда уравнение (12.1) удобно представить в виде

Второй сомножитель (12.2) и будет определять основной характер процесса.

Для уменьшения погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент в основном множителе имел возможно большую величину. Однако чрезмерное увеличение приводит к колебательному характеру переходного процесса.

Оптимальное соотношение между коэффициентами определяется из условия получения затухания за один период которому соответствует выражение (см. § 8.6)

где — вещественная и мнимая части комплексного корня, характеризующего основной процесс.

Учитывая соотношения:

из (12.3) можно получить

Множитель определяющий соотношение между коэффициентами основного множителя характеристического уравнения, является критерием переходного режима, зависящим от выбранной степени затухания. Формула (12.4) показывает желаемое соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться при проектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих средств.

Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение между мнимой и вещественной частями корня (колебательность):

В ряде случаев для описания основного переходного процесса оказывается более целесообразным воспользоваться уравнением третьей степени

Это уравнение можно представить в виде

Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения:

Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему

Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) и (12.7) равны:

Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразно задать

и, следовательно,

Подставив полученные значения в формулы разложения, находим зависимость между коэффициентами основного уравнения. Если задано, то

Эти соотношения должны реализоваться при проектировании системы регулирования.

Корни основного уравнения

Выбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы.

Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходного процесса для заданного затухания (8.40). Для этой цели полезно представить характеристическое уравнение (12.1) в таком виде:

где — произвольно выбранный среднегеометрический корень, — безразмерные коэффициенты.

Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает вид

Разлагая его на множители, находим

Соотношения для коэффициентов:

Введем коэффициент а и положим

Тогда

Подставив полученные значения коэффициентов в формулы (12.22) и (12.23), можем записать:

откуда

Таким образом, безразмерные коэффициенты являются функциями критерия переходного процесса зависящего от желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяющего соотношение постоянных времени затухания отдельных составляющих.

При имеем , т. е. и отношение постоянных времени и будет

Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью.

Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентов характеристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней [117].

Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректирующих средств находится характеристическое уравнение. Затем варьируются параметры основного канала регулирования и корректирующих средств таким образом, чтобы получить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения (12.1) или (12.20).

Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокой степени характеристического уравнения . В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристического уравнения.

Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта