РАЗДЕЛ IV. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ГЛАВА 16. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 16.1. Общие понятия

Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Перечислим виды нелинейных звеньев:

1) звено релейного типа (рис. 1.12);

2) звено с кусочно-линейной характеристикой (рис. 1.10, д и др.);

3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5) нелинейное звено с запаздыванием, причем запаздывание понимается в смысле § 14.1, а нелинейность может иметь любой вид;

6) нелинейное импульсное звено;

7) логическое звено;

8) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе переменная структура.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые — в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем. Сначала по правилам § 3.1, как делалось в главе 5, производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одного-двух). Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система обыкновенныхлинейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена можно представить в виде рис. 16.1, а, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, на рис. 16,1, б или в). В случае двух нелинейных звеньев могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи системы они входят (см., например, рис. 16.2).

Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами

которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, как будет показано в следующих

параграфах, не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида

Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции раздельно;

или же вместе:

Разделим все нелинейные системы регулирования на два больших класса.

1. К первому классу нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейного звена приводится к любому из видов (16.1) — (16.3), т. е. когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходная величина (и ее производные).

Рис. 16.1.

При этом имеется в виду, что схема системы в целом может быть приведена к виду рис. 16.1 с одним нелинейным звеном. К этому классу сводится, например, также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рис. 16.2, в, так как там они могут быть объединены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и случай, показанный на рис. 16.2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (16.1) или (16.2)).

2. Второй класс нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейных звеньев, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелинейным звеном вида (16.4) или (16.5), а также в системе с двумя нелинейными звеньями (рис. 16.2, а или г), если в первом из них под знак нелинейности входит входная величина, а во втором — выходная. Система же рис. 16.2, б относится ко второму классу, если под знаки нелинейностей входят в обоих звеньях либо только входные, либо только выходные величины нелинейных звеньев.

Ко второму классу нелинейных систем относятся также системы с двумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разные переменные, связанные между собой нелинейными дифференциальными уравнениями (т. е. связанные через линейные части и нелинейные звенья). К таким системам относятся, например, система

на рис. 16.2, а, если в ее уравнениях под знаками нелинейных функций находятся входные (или выходные) величины обоих нелинейных звеньев, и многие другие системы.

Системы с логическими устройствами относятся обычно к нелинейным системам второго класса.

Заметим, что во всех случаях, когда под знак нелинейной функции входит какая-либо линейная комбинация разных переменных, их следует обозначать одной буквой, а данную линейную комбинацию учесть при составлении общего уравнения линейной части системы.

Рис. 16.2.

Это бывает, например, в тех случаях, когда на вход нелинейного звена подаются производные или включается обратная связь. Так, если для рис. 16.1, б

то, обозначая

можно привести уравнение нелинейного звена к виду (16.1).

Из всех уравнений линейных звеньев, а также добавочных линейных выражений типа (16.6), получаемых при выделении нелинейности, составляется общее уравнение линейной части системы

(где — операторные многочлены) или передаточная функция линейной части системы

Составление уравнений будет проиллюстрировано ниже на примерах.

Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах.

Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличие от линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса — автоколебания, т. е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий.

Рис. 16.3.

Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным.

Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям.

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рис. 16.3, а, то равновесное состояние неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рис. 16.3, а колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.

На рис. 16.3, б и в показаны случаи, когда равновесное состояние системы устойчиво «в малом», т. е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны).

На рис. 16.3, г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние колебания с постоянной амплитудой колебания с постоянной амплитудой При этом колебания с амплитудой неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом»

по отношению к равновесному состоянию а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой

Пример. Для иллюстрации особенностей нелинейной системы исследуем переходный процесс и автоколебания в релейной системе автоматического регулирования температуры, изображенной на рис. 1.35. Для этого составим сначала уравнение регулируемого объекта и регулятора.

Пусть регулируемый объект представляет собой некоторую камеру. Учитывая инерционность процесса нагрева и охлаждения, запишем уравнение регулируемого объекта в виде

где — отклонение температуры, — отклонение регулирующего органа, — внешние возмущения.

При отклонении температуры 0 появляется ток в диагонали моста того или иного направления (рис. 1.35) и замыкается тот или иной контакт реле 5, включающего постоянное напряжение в ту или иную обмотку возбуждения 4 электродвигателя 5.

Рис. 16.4.

Приняв во внимание некоторое отставание в этом процессе включения, получим релейную характеристику вида г) рис. 1.36. Далее, считая, что ток I пропорционален отклонению температуры объекта 0, а скорость отклонения регулирующего органа 6 пропорциональна напряжению на обмотках возбуждения электродвигателя, можно в данном случае выходной величиной для указанной релейной характеристики считать прямо а входной — 0 (рис. 16.4, а).

Следовательно, уравнение регулятора запишется здесь следующим образом:

Рассмотрим два произвольных участка переходного процесса (при в данной системе (участки и на рис. 16.4, б).

На участке уравнение регулятора согласно рис. 16.4, в будет . Дифференцируя (16.9) по и подставляя туда с, получаем

при следующее уравнение системы регулирования на участке

а на участке

Решение уравнения (16.12) будет

откуда получаем

Условимся для простоты отсчитывать время от начала участка (рис. 16.5, а). Тогда начальные условия будут

где пока неизвестно. Используя начальные условия» находим произвольные постоянные для уравнения (16.15);

Аналогично для участка согласно (16.13), отсчитывая время тоже от начала этого участка (рис. 16.5, б), получим решение

Все остальные участки кривой переходного процесса будут определяться, очевидно, такими же решениями, но только с другими числовыми значениями величин Заметим, что величины необходимые для определения произвольных постоянных, находятся как значения 0 в конце предшествующих им участков. Поэтому, если будет задана величина 0 в начальной точке первого участка процесса, то все вышенаписанное решение для переходного процесса в системе станет определенным. Такой метод решения задачи называется методом припасовыеания.

Рис. 16.5.

Выясним теперь, возможны ли в данной система автоколебания, т. е. устойчивое периодическое решение. Для этого нужно, очевидно, чтобы в конце D одного периода колебаний (рис. 16.4, б) получились точно такие же значения , какие были в начале его А. Легко заметить, что при этом оба полупериода и должны быть одинаковыми вследствие симметрии характеристики (рис. 16.4, а). Поэтому для определения автоколебаний

достаточно рассмотреть только один участок А В и потребовать, чтобы

Обозначив период искомых автоколебаний через 2Т, а длительность участка следовательно, через Т, из (16.14) найдем

Подставляя сюда (16.18) и замечая, что из получаем выражение

в котором содержатся две неизвестные; и Т. Величину Т (длительность участка можно выразить из (16.15), так как известно, что в конце участка Из (16.15) и (16.16) при этом находим

Подставив сюда значение С из (16.19), получим уравнение для определения полупериода автоколебаний:

Это трансцендентное уравнение для Т легко решается графически (рис. 16.6) пересечением двух кривых:

Рис. 16.6.

Если найдено вещественное положительное значение для Г, то это свидетельствует о наличии периодического решения в данной системе. Чтобы доказать, что это соответствует автоколебаниям, нужно исследовать их устойчивость, т. е. показать, что в переходном процессе система ведет себя, как изображено на рис. 16.3, а, но не так, как на рис. 16.3, б. Это будет показано ниже.

Амплитуда найденных автоколебаний определяется как на участке А В (рис. 16.5, а) путем исследования функции (16.15) на максимум обычным путем.

Фазовое пространство.

Для наглядного представления о сложных нелинейных процессах регулирования часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается в следующем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования -го порядка можно преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого] порядка в виде

с начальными условиями

где — переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем может обозначать регулируемую величину, а — вспомогательные переменные; — возмущающее и задающее воздействия.

Пусть, например, в уравнениях (16.21) будет (система третьего порядка). Переменные здесь могут иметь любой физический смысл. Но условно их можно представить мысленно как прямоугольные координаты некоторой точки М (рис. 16.7, а).

В реальном процессе регулирования в каждый момент времени величины имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве (рис. 16.7, а). С течением времени в реальном процессе величины определенным образом изменяются. Это соответствует определенному перемещению точки М в пространстве по определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения системы в процессе регулирования.

Рис. 16.7.

Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называется фазовой траекторией, а пространство называется фазовым пространством.

Так как производные по времени от координат точки представляют проекции ее скорости и на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (16.21) представляют собой выражения для проекций скорости изображающей точки М (рис. 16.7, а) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений (16.21) в каждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки М, а вместе с тем поведении соответствующей реальной системы в процессе регулирования.

Начальные условия процесса регулирования определяют координаты начальной точки фазовой траектории (рис. 16.7, а).

Если переменных в уравнениях (16.21) будет всего две: и (система второго порядка), то изображающая точка будет двигаться не в пространстве а на плоскости (фазовая плоскость).

Если переменных будет любое число (система порядка), то фазовое пространство будет не трехмерным, а -мерным.

Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь геометрический образ динамических процессов, протекающих в системе.

В этом геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время. Фазовая траектория сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки (а значит, и состояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений (16.21) во времени.

Если уравнения (16.21) составлены в отклонениях от установившегося состояния, то последнее характеризуется значениями . Следовательно, изображением установившегося состояния системы является начало координат фазового пространства.

Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будут асимптотически приближаться к началу координат при неограниченном

увеличении времени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат.

Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше, фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания. Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области окружающей начало координат фазового пространства (рис. 16.7, 6), будут асимптотически приближаться к началу координат. Если устойчивость неасимптотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри определенной области вокруг начала координат фазового пространства, могут иметь любые очертания, но не будут выходить за пределы некоторой определенной области окружающей начало координат (рис. 16.7, б).

Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову.

Невозмущенное движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области (рис. 16.7, б) можно найти такую область что при начальных условиях, расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходный процесс) будет таким, что изображающая точка не выйдет из области при любом сколь угодно большом значении времени 2.

В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпунову будет следующей. Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, если при заданных положительных сколь угодно малых числах можно найти такие положительные числа что при начальных условиях

решение дифференциальных уравнений возмущенного движения (переходного процесса) удовлетворяет неравенствам

при любом сколь угодно большом начиная с некоторого

Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (16.22) получается -мерный параллелепипед со сторонами внутри которого должна лежать начальная точка фазовой траектории На фазовой плоскости он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе из написанных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории не должны выходить из параллелепипеда со сторонами .

В формулировке Ляпунова содержится требование сколь угодной малости указанных областей. Однако практически это определение, так же как и теоремы Ляпунова, которые будут приведены ниже, применяется и тогда, когда эти области имеют определенные конечные размеры.

Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем.

Пусть переходный процесс в некоторой системе описывается уравнением второго порядка

Введем обозначение для скорости изменения отклонения регулируемой величины Тогда уравнение системы (16.23) преобразуется к виду

Исключим из уравнений (16.24) время разделив первое из них на второе (при ):

Решение этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной.

Вся совокупность интегральных кривых представит собой все возможные фазовые траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе автоматического регулирования при любых начальных условиях.

Рассмотрим отдельно различные случаи. Уравнению (16.23) соответствуют корни характеристического уравнения

причем возможны шесть случаев:

1) корни чисто мнимые при (граница устойчивости линейной системы);

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при (устойчивая линейная система);

3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при (неустойчивая линейная система);

4) корни вещественные отрицательные при (устойчивая линейная система);

5) корни вещественные положительные при (неустойчивая линейная система);

6) корни вещественные и имеют разные знаки при (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при (граница устойчивости линейной системы).

Случай 1. В первом случае получаются, как известно, незатухающие колебания (рис. 16.8, а)

с постоянной амплитудой А и начальной фазой , которые зависят от начальных условий.

Рис. 16.8.

Для фазовой плоскости уравнения (16.26) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и (рис. 16.8, б). Уравнение эллипса

можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (16.25) при причем А — произвольная постоянная интегрирования.

Итак, периодическим колебаниям системы (рис. 16.8, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой (рис. 16.8, б).

Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями), как известно, имеют место затухающие колебания (рис. 16.9, а)

где

а произвольные постоянные А и определяются из начальных условий;

Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости кривую (рис. 16.9, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку а подходит ближе к началу координат.

Рис. 16.9.

Итак, затухающим колебаниям системы (рис. 16.8, а) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис. 16.9, б).

Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (рис. 16.10, а).

Рис. 16.10.

Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траекторий тоже в виде спиралей, но только

изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 16.10, б).

Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу

где

На рис. 16.11, а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости это изобразится кривыми 1 и 2 соответственно (рис. 16.11, б), так как в первом варианте все время а во втором варианте знаки х и у меняются по одному разу.

Рис. 16.11.

Границы областей представляют собой прямые получающиеся из уравнений (16.27) соответственно при и при (обращение одного из корней в нуль).

В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.

Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.

Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.27), но при Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.12.

Случай этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (16.27) (рис. 16.13, а), где имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная. Так как , то введем обозначение причем для простоты построений рассмотрим случай что соответствует согласно (16.23) уравнению системы — и согласно (16.25) — уравнению фазовых траекторий

Интегрирование последних, аналогично случаю 1, дает , т. е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.13, б.

Направления движения изображающей точки М по фазовым траекториям, показанные на рис. 16.13, б, легко определяются в каждой четверти плоскости по знаку

Рис. 16.12.

Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при

Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.12, б или типа рис. 16.13, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

Рис. 16.13.

Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию, получаем согласно (16.25) неопределенное выражение

т. е. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особыми точками, причем существует следующая классификация для них;

а) особые точки типа точки О на рис. 16.8, б называются центрами,

б) особые точки типа рис. 16.9, б называются устойчивыми фокусами,

в) особые точки типа рис. 16.10, б называются неустойчивыми фокусами,

г) особые точки типа рис. 16.11, б называется устойчивыми узлами,

д) особые точки типа рис. 16.12, б называются неустойчивыми узлами,

е) особые точки типа рис. 16.13, б называются седлами (седло всегда неустойчиво).

Особые линии для нелинейных систем.

Реальные системы автоматического регулирования можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии.

За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильпо измениться и стать качественно иной.

В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т. е. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» устойчивые колебания определенной формы).

Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 16.14, а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе (рис. 16.10, б), но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на рис. 16.14, а. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Эта соответствует картине процессов во времени, изображенной на рис. 16.3, а. Такого вида замкнутый контур, представляющий собой наиболее важный для теории регулирования тип особых линий на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом.

Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла А и В (рис. 16.14, а) представляют амплитуды колебаний самой величины х и скорости ее изменения для определения ления периода автоколебаний надо обратиться к решению уравнений во времени.

Случаю устойчивости системы «в малом» и неустойчивости «в большом» (рис. 16.3, б) соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.14, б. Граница начальных условий, до которой система устойчива, имеет чаще всего на фазовой плоскости вид неустойчивого предельного цикла, как на рис. 16.14, б, от которого в обе стороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это — второй важный тип особых линий, определяющий устойчивость системы «в малом» и неустойчивость «в большом».

Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивый предельный цикл (рис. 16.14, в), соответствующий автоколебаниям с большой амплитудой. Это соответствует процессам во времени, изображенным на рис. 16.3, г. Такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий при достаточно больших отклонениях могут наблюдаться и в случаях апериодических процессов (рис. 16.12, б и 16.13, б), включая превращения их в колебательные и наоборот. Например, картине процессов во времени, показанной на рис. 16.3, в, соответствует картина фазовых траекторий на рис. 16.14, е.

Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границе устойчивости (при чисто мнимых корнях), картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.8, б, может иметь место лишь вблизи

состояния установившегося режима О. При больших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается, картина фазовых траекторий будет другой. Один из возможных вариантов изменения фазовых траекторий при больших отклонениях в этом случае показан на рис. 16.14, г. Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла что приводит фактически к неустойчивости системы.

Рис. 16.14.

Но может иметь место и устойчивый предельный цикл. Особые линии такого типа, как (рис. 16.14, г), на фазовой плоскости называются сепаратрисами (третий тип особых линий). Особые линии более сложного очертания рассматриваться не будут.

Здесь говорилось пока о системах, которые при малых отклонениях рассматриваются как линейные. Но совершенно аналогичная картина получается и для таких нелинейных систем автоматического регулирования, которые даже «в малом» нельзя рассматривать как линейные. Таковыми являются многочисленные типы релейных систем, а также системы с зоной нечувствительности, с гистерезисной петлей, с сухим трением, с зазором. Интересно отметить, что некоторые из таких систем скорее «в большом», чем

«в малом», могут приближаться к линейным, когда зона нечувствительности или зазор оказываются малыми по сравнению с величиной отклонений х.

В системах с зоной нечувствительности и с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда установившемуся состоянию при данных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует не одна точка, а целая область возможных равновесных состояний системы. На фазовой плоскости это выражается в том, что особая точка вытягивается в особый отрезок (рис. 16.14, д).

Заметим, наконец, что координатами фазовой плоскости могут служить не обязательно отклонения регулируемой величины и скорость ее, как было выше. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояние системы второго порядка в произвольный момент времени.

Рис. 16.15.

Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в системе автоматического регулирования температуры, рассмотренной выше. Координаты фазовой плоскости будут

Если то согласно (16.10) и рис. 16.4, а переключение регулятора происходит при (линия на рис. 16.15); если же то при (линия Справа от линии переключения справедливо уравнение системы (16.12), а слева — (16.13).

Уравнение (16.12) в обозначениях (16.29) примет вид

откуда получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий

Интегрирование его дает

где — произвольная постоянная. Каждому конкретному значению соответствует определенная кривая на фазовой плоскости. Семейство кривых, отвечающих различным значениям изображено на рис. 16.15 справа от линии Эти кривые имеют асимптоту Направление движения изображающей точки по ним, показанное стрелками, определяется из условия т. е. возрастает при и убывает при Уравнение (16.13) в обозначениях (16.29) будет

что дает решение

согласно которому наносится семейство фазовых траекторий слева от линии (рис. 16.15).

В результате получится, что фазовые траектории расходятся от начала координат и сходятся из бесконечности, т. е. имеет место случай, аналогичный рис. 16.14, а, а значит, где-то должен быть устойчивый предельный цикл. Он обозначен жирной линией на рис. 16.15.

Следовательно, в данной системе автоматического регулирования будут наблюдаться устойчивые автоколебания, к которым сходится переходный процесс с обеих сторон, т. е. при любых начальных условиях.

Автоколебательный процесс является здесь единственно возможным видом установившегося процесса, а строгое поддержание постоянной температуры невозможно. Амплитуда автоколебаний температуры в данной системе регулирования изображается на рис. 16.15 отрезком а. Период же автоколебаний определяется решением уравнений во времени, как было сделано выше. Половины и (рис. 16.15) предельного цикла соответствуют полупериодам (рис. 16.4, б) автоколебаний.

Отрезок (рис. 16.15) изображает амплитуду скорости изменения температуры при автоколебаниях; это есть величина (16.18). Видно, что

Перейдем к составлению уравнений нелинейных систем автоматического регулирования.