ГЛАВА 14. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ 14.1. Уравнения линейных систем с запаздыванием

Линейными системами с запаздыванием называются такие автоматические системы, которые, имея в общем ту же самую структуру, что и обыкновенные линейные системы (раздел II), отличаются от последних тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.

Например, если обыкновенное линейное звено описывается уравнением

(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего линейного звена с запаздыванием будет иметь вид

(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностными уравнениями.

Рис. 14.1.

Обозначим Тогда уравнение (14.2) запишется в обыкновенном виде:

Так, если входная величина изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 14.1, а), то изменение величины стоящей в правой части уравнения звена, изобразится графиком рис. 14.1, б (скачок на секунд позже). Используя теперь переходную характеристику обыкновенного апериодического звена в применении к уравнению (14.3), получаем изменение выходной величины в виде графика рис. 14.1, в. Это и будет переходная характеристика апериодического звена первого порядка с запаздыванием (его апериодическое «инерционное» свойство определяется постоянной времени Т, а запаздывание — величиной

Линейное звено с запаздыванием. В общем случае, как и для (14.2), уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием можно

разбить на два:

что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (рис. 14.2, а) на два: обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 14,2, б).

Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая же, как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправо на величину .

Примером звена «чистого» запаздывания является акустическая линия связи — время прохождения звука). Другими примерами могут служить система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера — время движения ленты на определенном участке), а также система регулирования толщины прокатываемого металла, где означает время движения металла от валков до измеритетя толщины

Рис. 14.2.

Рис. 14.3.

В двух последних примерах величина называется транспортным запаздыванием.

В первом приблилчвнии определенной величиной запаздывания могут быть оларактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы (подробнее о них см. § 14.2).

Величину запаздывания в звене можно определить экспериментально путем снятия временной характеристики. Например, если при подаче на вход звена скачком некоторой величины, принимаемой за единицу, на выходе получается экспериментальная кривая для показанная на рис. 14.3, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (14.2), взяв величины с экспериментальной кривой (рис. 14.3, б).

Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 14.3, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением

причем и к можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.

Итак, с гочки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравнением первого порядка с запаздывающим аргументом (14.2), часто может быть с такой же степенью приближения описано обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (14.5). Для решения вопроса о том, какое из этих уравнений лучше подходит к данному

реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с запаздыванием будет рассмотрено ниже.

В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) для элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его в ряд Тейлора, получим

или, в принятой ранее символической операторной записи,

Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания для изображений функций (табл. 7.2). Таким образом, для звена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде

Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система содержит последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени Тогда результирующая передаточная функция будет

Если то в пределе получаем . Уже при передаточная функция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6).

Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать в виде

Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет

где через обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания.

Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой

где — модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания. Отсюда получаем следующее правило.

Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол , где — значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис. 14.4, а).

Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики а в конце то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена меньше, чем многочлена

Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (14.2), так и (14.5). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2) и (14.5) показаны на рис. 14.4, а и соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью

Рис. 14.4.

При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, на и характер распределения отметок частот о вдоль нее.

Линейная система с запаздыванием.

Пусть одноконтурная или многоконтурная автоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звена с запаздыванием. Тогда уравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметь разные величины запаздывания Все выведенные в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются в силе и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (14.10).

Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, среди которых имеется два звена с запаздыванием соответственно, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

где — передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равная произведению передаточных функций включенных последовательно звеньев.

Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев безралично, будет ли все запаздывание сосредоточено в одном каком-нибудь звене или разнесено по разным звеньям. Для многоконтурных цепей получатся более сложные соотношения.

Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием , то оно будет описываться уравнениями;

Предаточные функции звена и цепи обратной связи будут при этом

Согласно (5.59) результирующая передаточная функция звена вместе с обратной связью будет

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение звена в операторной форме

или, при подстановке (14.14),

Пусть, например, интегрирующее звено с замедлением, передаточная функция которого

охватывается отрицательной обратной связью с передаточной функцией

Тогда результирующая передаточная функция звена с обратной связью в соответствии с (14.15) будет

Частотная передаточная функция получается подстановкой в последнее выражение

Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая этому выражению, приведена для иллюстрации на рис. 14.5.

Рис. 14.5.

Рис. 14.6.

Пример системы с запаздыванием.

Рассмотрим систему регулирования скорости двигателя (рис. 1.16). Составим уравнения всех звеньев системы с учетом их инерционностей. Дополнительно к тому учтем еще запаздывание в воздействии регулирующего органа на объект. Изобразим эта введением в структурную схему данной системы дополнительного элемента запаздывания (рис. 14.6). Пусть объект не имеет самовыравнивания и снабжен

регулятором с жесткой обратной связью (рис. 10.11). Уравнения такой системы

Уравнение замкнутой системы

где

Здесь — приращения скорости, перемещений золотника и регулирующего органа и управляющего воздействия; - коэффициенты, - постоянные времени.