§ 23.3. Последовательная оптимизация на базе нелинейного программирования

Изложим этот метод, следуя В. М. Пономареву [105].

Рассмотрим более общий случай системы, описываемой нелинейными уравнениями динамики

с переменными коэффициентами, с внешними воздействиями которые могут иметь случайную природу при заданном распределении, и с начальными условиями

которые также могут быть случайными с заданным распределением. Рассматривается конечное время процесса управления

Нужно найти оптимальный нелинейный закон регулирования

при котором осуществляется минимум функционала (критерий оптимальности)

где М обозначает математическое ожидание, причем должны еще удовлетворяться необходимые ограничения на некоторые переменные и характеристики, обусловленные практической реализацией системы.

Представим нелинейные функции в виде степенных рядов степени I. Заданные функции будут

где величина индексов q и определяется порядковым местом этих членов в ряде.

Аналогично и искомый нелинейный закон регулирования представляется в виде

Тогда задача оптимизации сводится к отысканию значений коэффициентов

Если подставить выражения (23.39) и (23.40) в исходные уравнения системы (23.35), то неизвестные коэффициенты войдут как параметры в правые части уравнений системы. Поскольку решения дифференциальных уравнений являются непрерывными функциями от параметров, то неизвестные могут быть представлены в виде

Подставляя (23.41) в (23.40), получаем

Аналитические выражения для функций можно получить, например, решая уравнения системы методом последовательных приближений.

Подставляя выражения (23.41) и (23.42) в формулу (23.38), получим критерий оптимальности в виде

Поскольку ограничения приводятся к аналогичному виду, то задача оптимизации нелинейного закона регулирования в общем случае сводится к задаче нелинейного программирования, т. е. к задаче отыскания минимума нелинейной функции переменных при нелинейных ограничениях.

Метод последовательной оптимизации предусматривает замену полученной задачи нелинейного программирования последовательностью задач квадратичного программирования. Три возможных способа построения такой последовательности предложены в главе II книги [105]. Алгоритмы для решения задач квадратичного программирования отработаны достаточно хорошо. Один из наиболее удобных алгоритмов предложен Билом.

При реализации метода последовательной оптимизации можно не отыскивать аналитические выражения для функций так как в процессе численного решения используются только производные от критерия оптимальности и ограничений по искомым коэффициентам . Способы получения этих производных рассмотрены в гл. II книги [105].

Приведем один пример решения задачи оптимизации указанным методом.

Пример. Допустим, что имеется линейный объект второго порядка с нелинейным инерционным исполнительным органом регулятора. Этот исполнительный орган описывается апериодическим звеном первого порядка с насыщением скоростной характеристики. При этом динамика объекта описывается уравнениями

а регулятора —

где

Вводятся ограничения на управление:

Такая задача является типичной, например, для летательных аппаратов при ограничении угла отклонения руля и скорости его движения.

Задано: . Переменные коэффициенты заданы в виде графиков (рис. 23.5). Возмущающее воздействие является случайным и описывается каноническим разложением

где случайные величины имеют следующие математические ожидания и дисперсии;

а так называемые координатные функции заданы графически (рис. 23.6).

Рис. 23.5.

Рис. 23.6.

Дополнительно к этому вводятся еще ограничения на фазовые координаты движения объекта по траектории

а также на коэффициенты в виде

Ставится задача отыскания значений коэффициентов нелинейного закона управления оптимизирующих систему по критерию точности (минимальная ошибка);

и вторая задача — отыскания значений тех же коэффициентов, оптимизирующих систему по энергетическому критерию (минимум затраты энергии на управление):

Результаты решения первой задачи оптимизации описанным выше алгоритмическим методом, проведенного на ЦВМ, даны в табл. 23.1.

Таблица 23.1

В этой таблице показано не только как меняются значения самих коэффициентов на каждом шаге последовательной оптимизации, но и то, как меняется, постепенно уменьшаясь, дисперсия ошибки (отклонения объекта) в конце управляемого движения , а также и величина минимизируемого функционала .

Решение второй задача оптимизации — по энергетическому критерию (23.51) — приводит к следующим результатам (табл. 23.2);

Таблица 23.2

Из таблицы видно, что коэффициенты нелинейного оптимального закона в этом случае существенно отличаются от первого в основном за счет увеличения коэффициента при кубическом члене выражения нелинейной функции (23.47) и уменьшения коэффициента Видно также, что точность управления при минимизации затраты энергии ухудшается.

В заключение отметим, что описанным здесь методом последовательной оптимизации на базе нелинейного программирования с использованием ЦВМ могут решаться задачи синтеза оптимальных систем большой сложности, в том числе многомерных, с уравнениями высокого порядка и с произвольными видами внешних воздействий и налагаемых практикой ограничений при различных критериях оптимальности.