§ 6.4. Построение областей устойчивости. D-разбиение

При расчете и проектировании системы автоматического регулирования иногда бывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т. е. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров. Ниже будет рассматриваться только построение областей устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскости двух параметров А и В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.

Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство Для границы устойчивости третьего типа — равенство

Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости.

Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе

устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: .

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: т. е. прохождение кривой Михайлова через начало координат.

Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулирования входят линейно в характеристический комплекс. Тогда для границы устойчивости колебательного типа уравнение распадается на два уравнения:

Здесь величина со дает значение чисто мнимого корня, т. е. частоту гармонических колебаний системы.

Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется D-разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых -разбиения, соответствующая границе устойчивости.

Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых D-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения со, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (6.26):

Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В — по оси ординат вверх.

В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы было получено характеристическое уравнение

Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя

Характеристический комплекс

Уравнения, определяющие границу устойчивости,

Решая их совместно относительно параметров К и , получим

Задаваясь затем различными значениями со в пределах от нуля до бесконечности, по этим формулам можно вычислить значения искомых параметров и составить табл. 6.1, одинаковую для положительных и отрицательных частот.

Рис. 6.12.

Таблица 6.1

По полученным данным строим кривую -разбиения (рис. 6.12). Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами при

Для нанесения штриховки найдем знак определителя (6.27). Необходимые для этого частные производные будут при

Определитель получается равным

Для отрицательных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от — до 0, полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх (от — до 0) необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой.

Для положительных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от 0 до полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.

Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как параметры должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей .

Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если

приравнять нулю свободный член, что дает условие . Это условие выполняется на оси ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при что дает условие . Это условие выполняется на оси абсцисс.

Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и Т получена окончательно. Для любых значений К и Т можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система, смотря по тому, попадает или не попадает точка, определяемая этими значениями параметров, в область устойчивости.