§ 8.7. Диаграмма Вышнеградского

Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка

Приведем его к нормированному виду. Для этого разделим все члены на и введем новую переменную

Здесь использовано понятие среднегеометрического корня (8.26):

В результате получим нормированное уравнение

где коэффициенты

называются параметрами Вышнеградского.

На плоскости параметров А и В нанесем границу устойчивости. Условия устойчивости системы третьего порядка были впервые сформулированы Вышнеградским еще в 1876 году, до появления в 1895 году критерия Гурвица. Эти условия: . Уравнение границы устойчивости (колебательной): при . Это есть равнобокая

гипербола, для которой оси координат служат асимптотами (рис. 8.15). Область устойчивости системы, согласно написанным выше условиям, лежит выше этой кривой.

Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответствующие различному расположению корней характеристического уравнения. Заметим, что в точке С, где и характеристическое уравнение (8.49) принимает вид . Следовательно, в этой точке все три корня равны: . При этом для исходного характеристического уравнения согласно (8.48) получаем

В общем случае возможны два варианта: 1) все три корня вещественные; 2) один корень вещественный и два комплексных.

Граница между этими двумя случаями определяется равенством нулю дискриминанта уравнения третьей степени (8.49), который может быть получен, например, из формулы Кардана для решения кубического уравнения

Это уравнение дает на плоскости параметров А, В две кривые: (рис. 8.15). Внутри области дискриминант положителен. Следовательно, в этой области имеется три вещественных корня (область III). В остальной части плоскости дискриминант отрицателен, что соответствует наличию пары комплексных корней.

Рис. 8.15.

Существенное значение имеет взаимное расположение вещественного и комплексных корней. Будем различать здесь два случая: I — пара комплексных корней лежит ближе к мнимой оси, чем вещественный, и II — вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем пара комплексных. Границей между этими двумя случаями является расположение всех трех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси. Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней Тогда характеристическое уравнение (8.49) будет

Уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает

В результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключения искомое уравнение, соответствующее граничному случаю:

Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую CD.

В результате область устойчивости разбиваетсд на три части: I, II, III (см. рис. 8.15). Этот график называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 году в работе, которая положила начало развитию теории

автоматического регулирования. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости.

В области III, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получим апериодический переходный процесс в одной из форм, показанных на третьем графике рис. 8.16. Область III носит название области апериодических процессов.

В областях I и II, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходный процесс будет иметь соответственно формы, показанные на первых двух графиках рис. 8.16. В области I быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляющей.

Рис. 8.16.

Это будет область колебательных процессов. В области наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов.

Диаграмма Вышнеградского получила дальнейшее развитие. Для более точной оценки характера переходного процесса на ней можно нанести вспомогательные линии, разбивающие области I, II и III на еще более мелкие части, что позволяет при известных параметрах Вышнеградского иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные способы уточнения диаграммы Вышнеградского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценки быстродействия) и линий равного затухания (для оценки запаса устойчивости).

Для нанесения линий равной степени устойчивости обратимся к нормированному характеристическому уравнению (8.49). Для получения смещенного уравнения введем новую переменную, определяемую соотношением где обозначает степень устойчивости для нормированного уравнения. Для исходного уравнения (8.47) согласно (8.48) степень устойчивости будет

Смещенное уравнение имеет вид

Коэффициенты этого уравнения:

Применим к смещенному уравнению условие границы устойчивости. Колебательная граница устойчивости, соответствующая чисто мнимым корням смещенного уравнения (8.50), будет при выполнении условия Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет при Первое условие при подстановке значений коэффициентов приводит к уравнению

а второе дает

На основании полученных уравнений, задаваясь различными значениями можно построить на диаграмме Вышнеградского линии одинаковых значений нормированной степени устойчивости (рис. 8.17).

Рис. 8.17.

Рис. 8.18.

По уравнению (8.51) построены кривые в области так как там, согласно рис. 8.15, ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни. Кривая совпадает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) дает прямые, которые нанесены в областях II и III.

Как видно из диаграммы, наибольшая степень устойчивости имеет место в точке С с координатами Следовательно, эта точка соответствует наилучшим значениям параметров с точки зрения величины степени устойчивости. Однако, как уже отмечалось, степень устойчивости является приближенной оценкой быстроты затухания переходного процесса. Поэтому при выборе параметров системы регулирования практически нет смысла попадать именно в эту точку диаграммы. Можно считать, что наилучшей областью параметров системы будет область, прилегающая к точке С, например внутри замкнутой кривой

На рис. 8.18 приведена диаграмма Вышнеградского с нанесенными линиями равного затухания (Аналитические выкладки не приводятся ввиду громоздкости). Эти же линии являются, по существу, и линиями равной колебательности так как колебательность и затухание связаны между собой формулами (8.41) и (8.42).