§ 7.5. Использование вещественных частотных характеристик

Опишем метод приближенного построения кривой переходного процесса в автоматической системе (при воздействиях в виде скачка и импульса) по заданной вещественной частотной характеристике замкнутой системы, разработанный В. В. Солодовниковым в 1948 году [121]. Этот способ полезен тогда, когда расчет системы ведется с самого начала частотными методами. Он совершенно необходим, если известны уравнения не всех звеньев системы, а часть из них задается экспериментально снятыми частотными характеристиками.

На основании интеграла Фурье (7.16) оригинал искомой величины может быть представлен в виде

где — изображение Фурье искомой функции времени а

— частотное изображение искомой величины, полученное из изображения Карсона — Хевисайда подстановкой

Однако использовать интегральную зависимость (7.45) можно только в том случае, когда все полюсы функции лежат в левой полуплоскости.

Тогда интегрирование может вестись по мнимой оси. Это значит, что для преобразования Лапласа (7.18) абсцисса абсолютной сходимости

В действительности изображение Фурье даже для устойчивой системы, когда все полюсы передаточной функции системы лежат в левой полуплоскости, может иметь полюсы на мнимой оси за счет входного воздействия. Так, например, пусть передаточная функция системы имеет вид

причем Полюсы этой передаточной функции лежат в левой полуплоскости.

Если на вход поступает сигнал типа единичной ступенчатой функции изображение которого по Лапласу равно то изображение выходной величины будет

Это изображение имеет однократный полюс в начале координат

Если на вход системы поступает сигнал типа изображение которого то изображение выходной величины будет иметь в начале координат двукратный полюс

В связи с этим для использования интегральной зависимости (7.45) необходимо отделить от изображения Фурье искомой функции времени члены, содержащие полюсы на мнимой оси.

Рассмотрим частный случай, когда изображение Карсона — Хевисайда не имеет полюсов на мнимой оси. К этому случаю сводится, например, задача нахождения переходной функции в устойчивой системе, если даны ее передаточная функция , не имеющая полюсов на мнимой оси, и входное воздействие типа единичной ступенчатой функции Тогда изображение по Лапласу выходной величины будет и соответственно .

Тогда оказывается, что частотное изображение совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы а вещественная и мнимая части в формуле (7.46) совпадают с вещественной и мнимой частотными характеристиками замкнутой системы. К аналогичному результату можно прийти, если рассматривать реакцию системы на скачок внешнего возмущения. Тогда вещественная и мнимая части в формуле (7.46) будут совпадать с вещественной и мнимой частями частотной передаточной функции по возмущению

К тому же частному случаю могут сводиться и другие задачи исследования переходных процессов в системах регулирования, например нахождение ошибки системы при приложении скачкообразного внешнего возмущения, нахождение функции веса системы и др.

В этом случае существует ограниченное установившееся значение искомой функции времени которое можно получить, подставляя в значение

Учитывая, что получаем Тогда подынтегральная функция (7.45) может иметь однократный полюс в начале координат. Его можно устранить, рассматривая не саму величину а разность

которой соответствует разность изображений . В результате приходим к следующей интегральной зависимости:

Используем формулу Эйлера

Подставляя последнее выражение в (7.47), используя формулу (7.46) и отбрасывая мнимую часть, которая должна быть равной нулю, так как функция является, конечно, вещественной, получаем

Подынтегральное выражение представляет собой четную функцию частоты. Поэтому интегрирование по всем частотам можно заменить интегрированием только по положительным частотам, а затем удвоить результат.

Так как

то в результате имеем

Если принять нулевые начальные условия, то до приложения внешнего воздействия (при Заменив в (7.49) время на получим

Совместное решение (7.49) и (7.50) дает два выражения для нахождения искомой функции времени:

причем .

Таким образом, можно отыскать оригинал по известной вещественной или известной мнимой частям частотного изображения Обычно для этих целей используется вещественная часть изображения .

Если входное воздействие представляет собой единичный скачок, то, как указывалось выше, частотное изображение совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Тогда в формулы (7.51) и (7.52) будут входить вещественная и мнимая части частотной передаточной функции замкнутой системы . Следовательно, в этом

случае для построения переходного процесса, который будет представлять собой переходную функцию системы необходимо в формуле (7.52) положить , где вещественная характеристика системы. В результате получим

Аналогичным образом, при нахождении реакции системы на единичный скачок возмущающего воздействия необходимо использовать вещественную часть частотной передаточной функции по возмущению.

В дальнейшем изложении будем иметь в виду случай, определяемый формулой (7.53), хотя методика построения переходного процесса остается единой и для общего случая (7.52).

Интегрирование выражения (7.53) представляет большие трудности. Поэтому обычно используется приближенное решение задачи. Для этой цели вводится понятие шиповой единичной трапецеидальной вещественной характеристики (рис. 7.3).

Рис. 7.3.

Единичная трапеция имеет высоту, равную единице и частоту среза также равную единице, точнее, .

Единичная трапеция характеризуется частотой излома, которая может быть задана в виде коэффициента наклона трапеции

Для единичных трапеций с различными коэффициентами наклона по выражению (7.53) может быть вычислен оригинал, т. е. функция времени. Эта функция получила название функции.

В настоящее время составлены подробные таблицы -функции для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах (см. приложение 1).

По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции может быть построена функция времени где — безразмерное время, соответствующее единичной трапецеидальной характеристике.

Метод построения кривой переходного процесса заключается в том, что построенную вещественную характеристику исследуемой системы (рис. 7.4) разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными отрезками так, чтобы при сложении ординат всех трапеций получилась исходная характеристика.

Рис. 7.4.

Затем для каждой трапеции определяется коэффициент наклона. При известном коэффициенте наклона по таблицам могут быть построены -функции для каждой трапеции.

Кривая переходного процесса может быть получена суммированием построенных -функций с учетом правил масштабов. Правила масштабов заключаются в следующем.

1. Перед сложением ординаты каждой -функции необходимо умножить на высоту соответствующей трапеции (см. рис. 7.4), так как -функция

построена для трапеции, имеющей единичную высоту. При этом необходимо учитывать знак высоты, считая высоту положительной для трапеций, расположенных выше абсцисс.

3. Перед сложением необходимо изменить масштаб времени каждой -функции, так как -функции построены для единичной трапеции, имеющей частоту среза . Изменение масштаба времени делается в соответствии с теоремой подобия (табл. 7.2).

Действительное время равно времени приведенному в таблице Л-функций, деленному на частоту среза соответствующей трапецеидальной характеристики:

При нахождении реакции системы на единичную импульсную входную функцию, т. е. функции веса , можно пользоваться общей формулой (7.52). При этом должно быть вещественной частью частотного изображения искомой функции , где 1 представляет собой изображение единичной импульсной функции . Однако можно преобразовать формулу (7.53) так, что и при нахождении функции веса можно будет исходить из вещественной частотной характеристики замкнутой системы . Для этой цели продифференцируем выражение (7.53) по времени:

Если разбить исходную вещественную характеристику на трапецеидальные характеристики (рис. 7.4), то аналогично построению переходной функции выражение (7.54) можно представить в виде

где — число трапеций, на которые разбита вещественная характеристика

Можно показать, что это выражение приводится к виду

где введены обозначения

Следовательно, в данном случае искомая функция времени приближенно определяется простым подсчетом ее ординат по формуле (7.55) для разных и последующим построением по точкам. Для облегчения подсчетов можно воспользоваться готовыми таблицами значений которые имеются в справочниках.

В заключение заметим, что при построении кривой переходного процесса по трапецеидальным частотным характеристикам наибольшие ошибки получаются в начальной части кривой, так как отбрасываемый «хвост» вещественной частотной характеристики замкнутой системы влияет главным образом именно на начальную часть кривой переходного процесса.

Кроме изложенного здесь частотного метода В. В. Солодовникова существует еще предложенный А. А. Вороновым [28] аналогичный способ построения кривых переходного процесса по треугольным частотным характеристикам.