§ 8.6. Корневые методы

Как было сказано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в системе автоматического регулирования. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

где — комплексное число.

Используя понятие среднегеометрического корня

где — корни характеристического уравнения, в формуле (8.25) можно перейти к новой комплексной величине q путем подстановки . В результате получим уравнение

в котором безразмерные коэффициенты определяются выражением

а его корни равны

Исходное характеристическое уравнение (8.25) при возвращении к прежней комплексной величине получает вид

Среднегеометрический корень может служить мерой быстроты протекания переходных процессов. Если в уравнении (8.29) увеличить например, в 10 раз, то на основании теоремы подобия (табл. 7.2) переходный процесс, оставаясь подобным сам себе, будет протекать в 10 раз быстрее.

В связи с этим можно рассматривать (8.27) как некоторое нормированное характеристическое уравнение, которому соответствует переходный процесс, построенный для безразмерного времени Если качество переходного процесса является приемлемым с точки зрения допустимого запаса устойчивости, определяемого, например, перерегулированием (рис. 8.3), то требуемая быстрота протекания переходного процесса может быть обеспечена соответструющим выбором величины

Для увеличения величины как следует из (8.26), необходимо увеличивать свободный член характеристического уравнения . Напомним, что в статических системах , а в астатических где К — общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи регулирования. Следовательно, повышение быстродействия может осуществляться за счет увеличения общего коэффициента усиления.

Для оценки быстродействия системы может использоваться понятие степени устойчивости.

Под степенью устойчивости понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 8.12). Здесь могут быть два случая: когда ближайший корень является вещественным (рис. 8.12, а) и когда к оси мнимых ближе всего расположена пара комплексных корней (рис. 8.12, б).

Рис. 8.12.

Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к оси мнимых, т. е. имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают в переходном процессе (7.3) члены, которые затухают наиболее медленно. В большинстве случаев переходный процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет член, определяемый ближайшим к мнимой оси корнем. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то составляющая в переходном процессе, определяемая этим корнем, будет иметь вид

Положив в конце переходного процесса где , можно получить приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса:

Так, например, если принять , то время переходного процесса составит

Если ближайшей к оси мнимых является пара комплексных корней то составляющая в переходном процессе, определяемая этими корнями, будет

Положив в этом случае нельзя в общем виде определить время переходного процесса, так как для этой цели потребовалось бы решить трансцендентное уравнение. Однако можем найти верхнюю границу переходного процесса, положив в этом уравнении Тогда получим выражение

Таким образом, и в этом случае величина степени устойчивости будет в какой-то мере определять быстроту затухания переходного процесса.

Более строго связь между видом переходного процесса и величиной степени устойчивости может быть определена для случая, когда исходное дифференциальное уравнение системы имеет вид

Тогда можно показать [61], что при всех вещественных корнях или одной паре комплексных корней для переходной функции справедливо

неравенство

где — функция, ограничивающая сверху (мажоранта); — функция, ограничивающая снизу (миноранта). Вспомогательная функция определяется из выражения

Миноранта совпадает с переходной функцией, если характеристическое уравнение имеет корень кратности т. е. выглядит следующим образом:

Очевидно, что в этом случае -кратный корень совпадает со среднегеометрическим корнем

Из неравенства (8.33) вытекает, что при заданном значении среднегеометрического корня и всех вещественных корнях наименьшее время переходного процесса будет при всех кратных корнях, е. в случае (8.35).

Рис. 8.13.

На рис. 8.13 приведены миноранты, совпадающие с переходными характеристиками для случая -кратного корня, построенные в функции относительного времени для различных значений порядка дифференциального уравнения

Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вычисления значений корней характеристического уравнения. Для этой цели в характеристическом уравнении (8.25) переходят к новой переменной Подставляя в него получаем так называемое смещенное уравнение

Раскрывая скобки и группируя подобные члены, получаем

Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней (рис. 8.12) влево на величину . В результате один (рис. 8.12, а) или два (рис. 8.12, б) корня попадают на ось мнимых, что соответствует границе устойчивости.

Для вычисления степени устойчивости необходимо применить к смещенному характеристическому уравнению (8.37) любой критерий устойчивости и определить, при каком значении получается граница устойчивости. Напомним, что апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена характеристического уравнения:

а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, прохождение кривой Михайлова череа

начало координат и прохождение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку

Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматического регулирования. Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться, если в решении характеристического уравнения будут присутствовать комплексные корни вида . Эта склонность может характеризоваться отношением мнимой части корня (угловой частоты колебаний) к вещественной (коэффициенту затухания), которое называется колебательностью:

Колебательность связана с другим корневым показателем запаса устойчивости — с так называемым затуханием. Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса член вида

Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени эта амплитуда равна

Через один период

Затуханием за период называют величину

Эта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды получаем

или

Обычно в системах автоматического регулирования допускается затухание за один период не менее чем 90 - 98%. Так, например, если то допустимая колебательность при этом составит

Соответственно при получаем

Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (рис. 8.14, а), которые составляют с осью вещественных угол

Колебательность системы можно определить без нахождения корней характеристического уравнения подобно тому, как это было сделано выше по отношению к степени устойчивости. Идея метода заключается в том, что используется подстановка которая соответствует повороту координатных осей (рис. 8.14, б) против часовой стрелки на угол . При

этом по крайней мере один корень попадает на ось мнимых и затем он отыскивается. Ввиду громоздкости этот метод почти не имеет практического значения.

При задании допустимых значений колебательности и степени устойчивости область расположения корней должна ограничиваться также вертикальной прямой, проходящей параллельно оси мнимых на расстоянии (рис. 8.14, б). Расположению корней в этой области соответствует выдерживание требуемого запаса устойчивости, определяемого величиной колебательности или затуханием, и требуемой степени устойчивости характеризующей быстродействие системы.

Рис. 8.14.

Для определения параметров системы, при которых обеспечивается нахождение корней характеристического уравнения в заданной области, можно воспользоваться D-разбиением.

В этом случае в плоскости двух параметров системы может быть построена область, аналогично построению области устойчивости (см. § 6.4). Напомним, что при построении области устойчивости комплексная величина изменялась от до что соответствует движению по мнимой оси снизу вверх. В рассматриваемом случае комплексная величина должна перемещаться по границе допустимого расположения корней (рис. 8.14, б). В силу симметрии области достаточно рассмотреть участок

Методика построения допустимой области изменения двух параметров системы входящих линейно в характеристический полином

остается аналогичной, за тем исключением, что для участка делается подстановка а затем частота изменяется в пределах

Для участка делается подстановка частота изменяется в пределах

Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулирования является не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения. Для того чтобы учесть это обстоятельство, рассмотрим, например, зависимость между регулируемой величиной и управляющим воздействием, записанную посредством передаточной функции замкнутой системы (5.18):

Передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробнорациональную функцию

Раскладывая числитель и знаменатель (8.44) на множители, получим

Корни числителя называются нулями передаточной функции, так как в точке передаточная функция обращается в нуль. Корни знаменателя являются корнями характеристического уравнения, и они называются полюсами передаточной функции. В полюсе, т. е. при передаточная функция обращается в бесконечность.

Полюсы передаточной функции характеризуют левую часть дифференциального уравнения, а нули — правую. В частном случае, когда передаточная функция (8.44) не имеет нулей, правая часть дифференциального уравнения имеет вид и формула (8.45) сводится к выражению

В этом случае вид переходного процесса определяется только расположением полюсов.

Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оценить вид переходного процесса. Не останавливаясь на подробном анализе, приведем без доказательства общие рекомендации, которых желательно придерживаться при выборе расположения полюсов и нулей передаточных функций [98].

1. Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от области полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе.

2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалять полюсы друг от друга.

3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси.

Кроме этих рекомендаций сохраняют свою силу ограничения на область расположения полюсов, накладываемые в связи с требованиями обеспечения определенного запаса устойчивости и быстродействия (см. рис. 8.14, б).