ГЛАВА 15. ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 15.1. Общие сведения

Линейной системой импульсного регулирования называется такая система автоматического регулирования, которая кроме звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга по времени импульсы.

В качестве импульсного звена (элемента) может использоваться падающая дужка гальванометра (рис. 1.28), генерирующая прямоугольные импульсы (рис. 15.1), у которых либо высота (рис. 15.1, а), либо ширина (рис. 15.1, б) пропорциональна непрерывной величине, поступающей на это звено в момент времени, совпадающий с началом импульса.

Рис. 15.1.

Кроме того, импульсным звеном может служить устройство типа ключа, которое (как и падающая дужка) по какой-то внешней причине производит замыкание цепи короткими импульсами через равные промежутки времени. Отличие импульсного звена типа ключа от импульсного звена типа падающей дужки состоит в том, что оно «вырезает» определенные участки из непрерывно изменяющегося воздействия (рис. 15.1, в). И те и другие импульсные звенья могут быть осуществлены различными электромеханическими или электронными устройствами. Будем называть их соответственно импульсными звеньями типа I, типа II и типа III (рис. 15.1, а, б, в).

В качестве примера возьмем импульсную систему автоматического регулирования температуры 0 (рис. 1.27). Структурная схема ее дана на рис. 15.2, а. Регулируемым объектом может являться, например, тепловой двигатель, температура в котором 0 должна поддерживаться постоянной путем изменения положения шторок (регулирующего органа), т. е. путем изменения интенсивности охлаждения двигателя.

В общем случае любая импульсная линейная система регулирования будет содержать ряд непрерывных звеньев, описываемых обыкновенными

линейными дифференциальными уравнениями, и хотя бы одно прерывное — импульсное звено. Поэтому можно изобразить обобщенную структурную схему импульсной системы регулирования так, как показано на рис. 15.2, б, где все непрерывные звенья сведены в один блок — непрерывную часть системы. Последняя может иметь какую угодно структуру (любой сложности, с обратными связями и т. п.). В данном примере в линейную часть входят: приводной двигатель, регулирующий орган (шторки), регулируемый объект и чувствительный элемент (термометр сопротивления с гальванометром).

В качестве импульсной системы можно также рассматривать системы регулирования с управляющими цифровыми вычислительными машинами (ЦВМ).

Рис. 15.2.

Рис. 15.3.

Дискретный характер получения и обработки информации в ЦВМ приводит к так называемому квантованию по времени, что и позволяет применить здесь теорию импульсных систем. Однако системы с ЦВМ оказываются более сложными вследствие так называемого квантования по уровню, что делает их нелинейными. Поэтому теория импульсных систем в случае использования ЦВМ применима только для приближенных исследований, когда задача может быть линеаризована. Более подробно системы с ЦВМ будут рассмотрены в главе 24.

Импульсные фильтры.

Ограничимся случаем, когда на выходе импульсного элемента импульсы отстоят друг от друга на одинаковые интервалы времени, продолжительность их также одинакова и они отличаются друг от друга только по амплитуде (тип I и тип III на рис. 15.1).

Импульсная система может быть схематически представлена в виде соединения импульсного звена и непрерывной части. Последовательность импульсов на выходе импульсного звена после прохождения через непрерывную часть вследствие сглаживающих свойств последней превращается в непрерывные величины на выходе.

Обычно схема импульсной системы такова, что сигнал ошибки, полученный в элементе сравнения, поступает затем на импульсный элемент (рис. 15.3). Импульсное звено на этой схеме изображено условно в виде ключа, который замыкается с периодом Г. Если время замыкания ключа мало по сравнению с периодом чередования Т и постоянными времени непрерывной части и если сигнал на входе ключа в течение времени, когда он замкнут, практически постоянен, то последовательность конечных по продолжительности импульсов на выходе ключа можно заменить последовательностью дельта-функций. Величина каждой дельта-функции (точнее, интеграла от нее по времени) будет пропорциональной значению сигнала на входе ключа в момейт его замыкания.

Поскольку ключ замыкается в определенные моменты времени ( и т. д.), то сигнал на входе необходимо рассматривать именно в эти моменты времени. Хотя на выходе непрерывной части сигнал и непрерывен, будем рассматривать его только в отдельные дискретные моменты времени.

Непрерывную часть совместно с ключом на ее входе будем называть импульсным фильтром (рис. 15.4). Более строго импульсный фильтр следует определить как устройство, которое получает входные сигналы и одновременно дает выходные сигналы лишь в определенные моменты времени, например . На входе непрерывной части с передаточной функцией действует дискретная функция где и т. д.

Рис. 15.4.

В соответствии со сказанным эта функция может быть представлена в виде последовательности дельта-функций.

На выходе будет непрерывная функция, определяемая в эти же дискретные моменты времени: где и т. д.

Решетчатые функции. Введем понятие решетчатой функции времени или в сокращенной записи значения которой определены в дискретные моменты времени где — целое число, период повторения. Операция замены непрерывной функции решетчатой

показана на рис. 15.5. Изображенные на рис. 15.5, б ординаты представляют собой так называемые дискреты исходной непрерывной функции при

Дискреты могут быть также определены для смещенных моментов времени . Смещение может быть положительной или отрицательной величиной при выполнении условия

Относительное смещение по модулю меньше единицы.

Рис. 15.5.

Образование смещенной решетчатой функции , или в сокращенной записи из непрерывной функции для случая изображено на рис. 15.5, в.

В последующем изложении будем считать, что в решетчатой функции аргумент 0 и параметр . В случае необходимости рассмотрения функции с отрицательным параметром дискретное время можно представить в виде Тогда решетчатая функция может быть записана в виде где

Решетчатая функция не обязательно должна формироваться из некоторой исходной непрерывной. Любая числовая последовательность некоторой

величины, определенная в дискретные равноотстоящие моменты времени, может быть представлена в виде решетчатой функции.

Заметим, что обратная задача — формирование непрерывной функции из решетчатой — не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Это показано на рис. 15.6. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции. Так, например, огибающая может быть изображена в виде ступенчатой функции (кривая 3 на рис. 15.6).

Введем также понятие основной огибающей функции. Под основной огибающей будем понимать непрерывную функцию, совпадающую с заданными дискретами, которая может быть получена как результат решения дифференциального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими возможными огибающими, а для периодических решетчатых функций, кроме того, выполняется требование минимальности значений частот гармоник.

Рис. 15.6.

Рис. 15.7.

Так, например, решетчатой функции могут соответствовать огибающие где — целое число, - любое число. Однако первая из них (основная огибающая) может быть получена в результате решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая — в результате решения дифференциального уравнения второго порядка.

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность

либо первая обратная разность -

Обе эти разности показаны на рис. 15.7. Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций Однако формулы для здесь и далее оказываются идентичными, вследствие чего в дальнейшем изложении принято

Прямая разность определяется в момент времени по будущему значению решетчатой функции при . Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно.

Обратная разность определяется для момента времени по прошлому значению решетчатой функции в момент времени .

Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая

и обратная

Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь.

Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления разности возможно использование рекуррентных соотношений

или формул общего вида

где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)

Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т. е. при , то, как следует из (15.9), в точке разность

для любого целого положительного .

Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до для решетчатой функции являются неполная сумма

и полная сумма

Отличие (15.13) от (15.12) заключается в том, что значение в момент времени также участвует в формировании результата.

Разностные уравнения.

В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид

где — заданная, — искомая решетчатые функции. При уравнение (15.14) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет

При использовании (15.8) разностное уравнение (15.14) можно записать в другом виде:

Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости

где биномиальные коэффициенты

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет

С учетом формулы (15.9) последнее выражение приобретает вид

Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения при для заданных начальных значений и уравнения вида (15.15) или значения при для заданных начальных значений и уравнения вида (15.19). Такие вычисления легко машинизируются, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов — дифференциальных уравнений.

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

где — корни характеристического уравнения

— произвольные постоянные.

Из (15.22), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (15.15), было бы затухающим (условие устойчивости):

Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа, -преобразование, -преобразование, а также частотные методы, которые будут изложены ниже.