§ 23.2. Синтез оптимальной системы с использованием принципа максимума

Принцип максимума, используемый в теории оптимальных систем, разработан школой Л. С. Понтрягина [96].

Допустим, что уравнения динамики системы автоматического регулирования заданы в следующей общей форме (нелинейной):

(без переменных во времени коэффициентов и без внешнего воздействия), где — переменные, относящиеся к заданной части системы, включающей в себя регулируемый объект и не изменяемую в процессе синтеза часть регулятора;

— переменные, выражающие воздействия проектируемой части регулятора на заданную часть системы и называемые коротко управлениями.

Неизменяемой частью регулятора может быть, например, его силовая часть (привод регулирующего органа); тогда будут воздействиями измерительно-преобразовательной части регулятора на его силовую часть (рис. 23.1).

Рис. 23.1.

В заданные уравнения системы (23.4) не входят уравнения проектируемой преобразовательной части регулятора, которые должны быть найдены в процессе синтеза в виде зависимостей (закон регулирования)

Во всякой реальной системе величины управлений будут ограниченными, например,

пли любой другой определенной областью допустимых значений.

Критерием оптимальности системы пусть будет минимум некоторого функционала

Для удобства решения задачи вводится дополнительная искусственная переменная определяемая уравнением

а также еще вспомогательные переменные определяемые линейными однородными уравнениями

Если ввести теперь вспомогательную функцию Н в виде

то все уравнения (23.4), (23.7) и (23.8) можно объединить в одну систему, типа известной из механики системы уравнений Гамильтона, а именно:

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т. е. для получения минимума функционала I (23.6), необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций что при любом находящемся в заданном интервале величина Н, как функция переменных в заданной области их допустимых значений достигает максимума

причем и Мпостоянны во времени и

Для простейшего случая оптимальности — оптимальности по быстродействию — имеем , а функция Н принимает вид

где

В этом случае прежние искусственные величины с нулевыми индексами не нужны. Гамильтонова система уравнений принимает вид

Формулировка принципа максимума: для оптимальности системы по быстродействию необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций что для всех в заданном интервале функция Н переменных в заданной области их допустимых значений достигает максимума:

причем величина М постоянна во времени и

Согласно приведенным формулировкам принцип максимума дает только необходимые условия оптимальности. Вопрос же о существовании ее и о случаях достаточности этих условий очень труден. Поэтому в практических приложениях заранее интуитивно предполагают достаточность по физическому смыслу исследуемой системы.

Применение принципа максимума проиллюстрируем сначала на двух простейших примерах, когда решение задачи доводится до конца в аналитической форме [96].

Пример 1. Система задана уравнением

Требуется найти уравнение преобразовательной части системы чтобы система была оптимальной по быстродействию при переходе ее из произвольного начального состояния в равновесное состояние . При этом на управление и наложено ограничение

Обозначив приведем уравнение (23.19) к исходному виду (23.4):

Функция Н согласно (23.14) и (23.4) здесь имеет вид

Чтобы определить максимум Н по переменной и, надо найти 2. Для этого воспользуемся уравнениями (23.16), которые в данном случае будут

откуда

Принцип максимума (23.17), (23.18) с учетом выражения (23.21) и ограничения дает

так как положительный максимум функции Н по переменной и будет согласно (23.21) при когда и при когда Поскольку линейная функция не более одного раза меняет знак, то в оптимальном процессе регулирования будет не более одного переключения или наоборот.

Рис. 23.2.

Следовательно, оптимальная по быстродействию система будет релейной, но не обычной релейной, а с особым специальным законом переключения реле по знаку вспомогательной функции Чтобы представить себе это нагляднее, изобразим процесс на фазовой плоскости.

Исключив из уравнений получим при дифференциальное уравнение

откуда фазовая траектория будет

Аналогично при , получаем

Это — параболы, симметричные относительно оси абсцисс

Процесс должен заканчиваться в начале координат Поэтому сначала изобразим фазовые траектории (параболы), вливающиеся в начало координат соответственно при и при как показано сплошными линиями на рис. 23.2.

Нанесем теперь и все остальные параболы с различными значениями с в формулах (23.22) и (23.23) до точек их вливания в изображенные ранее две ветви параболы, идущие к началу координат. Это и сделано на рис. 23.3. Как видим, из произвольной точки процесс идет по некоторой параболе при управляющем сигнале другой области было бы

Рис. 23.3.

В точке D происходит переключение реле на сигнал и после чего процесс идет по параболе и заканчивается в точке О за конечное время, которое согласно принципу максимума является минимальным из всех возможных для перехода данной системы из состояния в равновесное состояние

Точка переключения реле D может находиться в любом месте кривой Последняя называется поэтому линией переключения. На ней лежат заключительные отрезки фазовых траекторий, приходящие в начало координат.

Итак, искомое уравнение преобразовательной части системы (оптимальной по быстродействию) будет

причем отсчитывается на оси абсцисс. Замечая, что из формул (23.22), (23.23) и рис. 23.2 находим уравнение линии переключения:

и следовательно, уравнение преобразовательной части системы будет

Итак, в системе должны быть либо два измерителя (для х и для либо один измеритель х и дифференцирующее устройство. Должно формироваться (автоматически вычисляться) переключающее значение согласно

формуле (23.25), и на основе сравнения фактического текущего значения со значением зависящим от текущего х, должно производиться включение и переключение реле в соответствии с уравнением (23.26).

Это является специальным нелинейным законом регулирования для линейного объекта (23.19), приводящим к оптимальной по быстродействию системе. Таков результат решения простейшей задачи оптимизации. Пример 2. Пусть задана система

Требуется найти такое уравнение преобразовательной части системы чтобы система была оптимальной по быстродействию, т. е. в кратчайшее время приходила бы в равновесное состояние . При этом задана область допустимых значений управления

Перепишем заданное уравнение (23.27) в виде

Функция Н согласно (23.14) и (23.4) здесь будет

Для вспомогательных переменных из (23.16) и (23.29) получаем уравнения

откуда

Принцип максимума (23.17) и (23.18), с учетом выражения (23.29) и условия дает

так как согласно (23.29) положительный максимум величины Н по переменной и будет при если и при если

При уравнения системы (23.28) будут

Решения их имеют вид

где Следовательно, фазовые траектории при будут окружностями

Аналогично при

Очевидно, что вливающиеся в начало координат фазовые траектории будут иметь вид полуокружностей (23.31) и (23.32) с радиусами (рис. 23.4). Это будут концевые участки траекторий. В них будут входить в произвольных точках предыдущие участки фазовых траекторий снизу (где ) в виде полуокружностей с центром, смещенным на единицу вправо а сверху (где ) — с центром, смещенным на единицу влево Это будут именно полуокружности, так как знак и

меняется согласно (23.30) через Следовательно, линия переключения составится из единичных полуокружностей, как показано на рис. 23.4 в виде ломаной кривой

В отличие от примера 1, здесь процесс регулирования может идти не с одним переключением, а с несколькими, в зависимости от начальных условий.

Рис. 23.4.

Итак, искомое уравнение преобразовательной части системы будет

Поскольку то указанная линия переключения представляет собой определенную зависимость

вследствие чего уравнение преобразовательной части системы можно представить в прежнем виде (23.26), но с новым значением. Устройство измерительно-преобразовательной части системы, согласно этому нелинейному закону регулирования, будет здесь аналогично прежнему (пример 1), но с другим алгоритмом вычислений.

Замечания. Сделаем некоторые общие замечания для оптимальных по быстродействию систем с линейной стационарной заданной частью без внешнего воздействия. В обоих примерах рассматривались системы второго порядка. Для них были получены линии переключений. Для систем высокого порядка будут получаться поверхности переключения в многомерном фазовом пространстве. При этом, если заданная часть системы порядка

имеет только вещественные неположительные корни (включая нулевые), то процесс будет иметь не более переключений, а если имеются комплексные (включая чисто мнимые) корни, то переключений может быть и больше, в зависимости от начальных условий.

Оптимальная по быстродействию система имеет релейный переключающий элемент, управляемый с помощью специального вычислительного логического устройства, алгоритм работы которого тем сложнее, чем выше порядок системы. При этом требуется непрерывно измерять все фазовых координат или же, иначе, — регулируемую величину и ее производных для введения в вычислительное устройство. Для систем высокого порядка это далеко не всегда реально. Поэтому практически прибегают к созданию не строго оптимальных систем, а систем, близких к оптимальным, но проще реализуемых. Некоторые конкретные рекомендации по таким системам см. в книге [61], стр. 474—477.