§ 20.3. Система с нелинейным корректирующим устройством

На примере конкретной следящей системы (рис. 20.17) рассмотрим некоторые особенности введения специальных нелинейных корректирующих устройств, использование которых приводит к тому, что переходный процесс в системе имеет такой вид, как будто инерционность двигателя во время переходного процесса существенно уменьшается [134].

Рис. 20.17.

На рис. 20.18 тонкой линией показано, что при синусоидальных колебаниях вследствие инерционности двигателя ошибка реальной системы отстает от ошибки при «идеальном» двигателе на угол , где — частота колебаний, Т — постоянная времени двигателя.

Введение нелинейных динамических корректирующих сигналов в данном случае производится таким образом, чтобы деформировать вид кривой ошибки как показано штриховкой на рис. 20.18.

Рис. 20.18.

Для отыскания численных соотношений, определяющих зависимость между интервалом введения динамического корректирующего сигнала и эквивалентными параметрами двигателя, разложим заштрихованную кривую (рис. 20.18) в ряд Фурье и сравним с кривой ошибки при безынерционном двигателе. Ограничиваясь основной гармоникой колебаний, получим

где

или

Заметим, что амплитуда ошибки связана с амплитудой управляющего напряжения а соотношением При этом выражения для

коэффициентов гармонической линеаризации примут вид

Поэтому гармонически линеаризованное уравнение двигателя с указанной нелинейной коррекцией будет

где обозначены на рис. 20.17.

Оно позволяет совместно с уравнениями остальных звеньев системы проводить анализ системы. Однако использование уравнения (20.55) технически не всегда бывает удобно. Недостатком формы записи его является то, что двигатель, по существу, является инерционным звеном, в то время как уравнение его получилось в форме уравнения звена с введением производной, причем

Для получения передаточной функции двигателя обычного вида необходимо сделать некоторые специальные преобразования. Будем искать ее в виде

с неизвестными пока . Потребуем, чтобы (20.56) и (20.55) были эквивалентны друг другу.

Уравнение (20.56) запишем в виде

и подставим в него значения и из (20.55):

Для случая исследования автоколебаний и устойчивости системы выражение для напряжения принимается в виде

Подставив это в уравнение (20.58) и выделив члены с синусами и коси нусами, получим систему уравнений

откуда находим

Таким образом, передаточная функция двигателя с нелинейной коррекцией имеет вид

Заметим, что в данном случае и эквивалентная постоянная времени звена Г, как это и должно быть, положительна.

Из выражения (20.59) видно, что для уменьшения постоянной времени двигателя нужно уменьшить величину

Найдем передаточную функцию двигателя с указанной нелинейной коррекцией для исследования переходного процесса.

Вместо (20.55) получим

Передаточную функцию двигателя с нелинейной коррекцией, как и прежде, ищем в виде или

Подставим сюда значения из (20.61). Получим

Затем, учитывая форму решения (20.7), (20.8), запишем выражения

и подставим их в (20.62). Разделяя там члены с синусами и косинусами, получим систему уравнений

Отсюда находим выражения для эквивалентного коэффициента усиления и постоянной времени:

Они отличаются от выражений (20.59), выведенных для случая исследования автоколебаний и устойчивости, наличием членов с характеризующих переходный процесс.

Поскольку в полученные формулы величина показателя затухания входит только в составе дроби причем практически при исследовании колебательных переходных процессов часто , то во многих случаях и для переходных процессов можно использовать более простые формулы (20.59).

Используя выражения, полученные для коэффициентов гармонической линеаризации (20.54), и выражения для эквивалентных параметров двигателя (20.63) и (20.64), можно найти общее выражение для эквивалентной постоянной времени двигателя при использовании данного вида нелинейных корректирующих сигналов:

В тех случаях, когда требуется значительно скомпенсировать во время переходного процесса отрицательное влияние инерционности двигателя, необходимо ввести «упреждение» 7 (рис. 20.19).

Графики коэффициентов гармонической линеаризации и эквивалентных значений постоянной времени и коэффициента усиления звена для подобного типа корректирующих сигналов приведены на рис. 20.20, а, б, в при разных значениях .

Из рис. 20.20, в виден эффект уменьшения инерционности приводного двигателя за счет описанной коррекции.

Для оценки влияния нелинейных корректирующих сигналов рассмотрим процессы в следящей системе, схема которой изображена на рис. 20.17.

Перед усилителем следящей системы (или в первых каскадах усилителя) установлено логическое устройство, которое включает корректирующий сигнал.

Рис. 20.19.

Рис. 20.20.

В те интервалы времени, в которые знаки анализируемых сигналов не совпадают, в системе формируется корректирующий сигнал, который сдвигается на время и подается для выключения сигнала ошибки.

Уравнения системы имеют вид

Отсюда выражение для ошибки системы с учетом выражении (20.59) будет

Характеристическое уравнение системы будет

где

Для определения автоколебаний и устойчивости воспользуемся коэффициентным методом (§ 18.2). По критерию Гурвица находим критический коэффициент усиления

причем уравнение для частоты колебаний системы получает вид

Решение системы этих двух уравнений целесообразно производить методом последовательных приближений.

Производя вычисления для заданных значений параметров системы , получим:

В линейной следящей системе (без нелинейной коррекции) при таких же параметрах значительно ниже.

Для определения качества переходных процессов используем формулы (20.32) и (20.33), что дает

Решая эти уравнения методом последовательных приближений для значения коэффициента усиления системы получим значение показателя затухания и частоты колебаний: Длительность переходного процесса здесь составляет примерно 0,5 сек, а перерегулирование — 74%.

Для того чтобы получить аналогичное качество переходного процесса в линейной системе без использования нелинейных динамических корректирующих сигналов, необходимо, чтобы коэффициент усиления системы был не более т. е. примерно в 3 раза меньше, чем в нелинейной системе. При этом показатель затухания и частота колебаний будут равны: Длительность переходного процесса в данном случае будет равна сек.

На рис. 20.21 приведены результаты точного решения исходных нелинейных уравнений для следующих значений параметров системы: .

Рис. 20.21.

Точное значение коэффициента затухания отличается от приближенного в данном случае на 22%. Точное значение частоты колебаний отличается от приближенного значения на 4%. Подобная точность определения параметров переходного процесса может считаться вполне приемлемой.

При наличии в системе дополнительной нелинейности типа насыщения, что практически почти всегда имеет место, величина первого перерегулирования существенно уменьшается