§ 21.3. Зависимость устойчивости и качества нелинейных систем от внешних вибраций

После определения функции смещения открывается возможность исследовать по уравнению (21.41) или по линейному уравнению (21.44) любые медленно меняющиеся процессы в системе.

Устойчивость системы по медленно меняющейся составляющей можно рассматривать тоже путем исследования нелинейного уравнения (21.41) или же линейного уравнения (21.44).

На устойчивость системы существенно может влиять величина амплитуды В и частоты внешнего периодического воздействия, так как от них зависят вид функции смещения и величина коэффициента Это

является совершенно новым и очень важным специфически нелинейным фактором, который в предыдущих главах еще не встречался. В линейных системах такое явление вообще отсутствует.

При использовании линейного уравнения (21.44) можно применять обычные критерии устойчивости линейных систем (Гурвица, Михайлова, Найквиста) и обычные логарифмические частотные характеристики.

Может оказаться, что область устойчивости системы по какому-либо параметру к (рис. 21.9, а) сужается, как показано на рис. 21.9, б, при увеличении амплитуды В внешних помех, имеющих вид вибраций заданной частоты

Рис. 21.9.

Вследствие этого для каждого значения к при данной частоте внешних вибраций может быть свое критическое значение их амплитуды В, при котором система становится неустойчивой. Аналогично, меняя частоту вибраций можно определить для заданного значения параметра к зависимость критической амплитуды внешних вибраций от частоты (рис. 21.9, в) — границу вибрационной помехоустойчивости системы.

Важно при этом иметь в виду, что при изменении параметров системы меняется и коэффициент и очертание функции смещения Поэтому, строя области устойчивости системы по какому-нибудь параметру к (рис. 21.9), нужно соответственно все время менять величину в уравнении (21.44) или в (21.41), т. е. при построении области устойчивости нужно учитывать, что любой параметр системы к может входить не только в состав , но также и в состав величины Зависимость же величины от любого параметра системы нетрудно найти предварительно согласно § 21.2 (см., например, рис. 21.8, в).

Кроме исследования устойчивости нелинейной системы можно по уравнению (21.41) или (21.44) провести полный анализ всех динамических качеств нелинейной системы, подверженной внешним вибрациям (качество переходных процессов, статические и динамические ошибки), при любых медленно меняющихся по сравнению с вибрациями внешних воздействиях

По указанным уравнениям могут определяться и вынужденные колебания системы на низких частотах, если медленно меняющееся воздействие изменяется периодически, т. е. имеется возможность исследования двухчастотных вынужденных колебаний нелинейной системы при большой разнице частот. Можно и здесь (как в § 19,2) проводить разделение общего движения нелинейной системы не только на два, но и на три вида по степени медленности движения во времени.

В результате всех перечисленных расчетов будет выявлена специфическая для нелинейных систем зависимость всех статических и динамических качеств и даже ее устойчивости от величины амплитуды В и частоты внешнего периодического воздействия (вибраций), что в некоторых случаях на практике может оказаться решающим для создания качественной автоматической системы.

Изложенная общая теория поведения нелинейных автоматических систем при наличии внешнего периодического воздействия (вибраций) может значительно упрощаться в различных частных задачах.

Приведем здесь видоизменение этой общей теории для следующих двух наиболее типичных частных задач:

1) приложение специального внешнего периодического воздействия с целью вибрационного сглаживания нелинейности (с последующей линеаризацией сглаженной характеристики при расчете системы в целом);

2) исследование работы нелинейной автоматической системы при высокочастотных внешних вибрационных помехах, когда не все звенья системы пропускают эти вибрации.

Задача 1. Когда в любой автоматической системе прикладывается внешнее периодическое воздействие (рис. 21.10) специально для того, чтобы произвести вибрационное сглаживание нелинейности, то обязательно ставится условие, чтобы на выходе амплитуда вынужденных колебаний была практически ничтожной.

Рис. 21.10.

В результате этого переменные (рис. 21.10) практически не будут содержать колебательной составляющей, а будут определяться через медленно меняющееся воздействие по уравнениям типа (21.41) или (21.44). Поэтому переменная х на входе нелинейного звена будет

Следовательно, в данной задаче (вибрационная линеаризация нелинейности при помощи вынужденных колебаний) нет необходимости в решении уравнения (21.32) или (21.33) для определения колебательных составляющих, ибо, согласно (21.26), уже имеется готовое решение

Поскольку внешнее периодическое воздействие предполагается приложенным к системе непосредственно там же, где и х (рис. 21.10), то в уравнении (21.24), составленном для исследуемой части системы (не включая пунктирной части на рис. 21.10), будет

На основании (21.47) по первой из формул (21.28), находим

что и дает искомую сглаженную характеристику. При этом можно воспользоваться для всех типовых нелинейностей готовыми формулами из главы 19 и их графиками типа рис. 21.6, а, заменив везде а и на величину В. Как видим, здесь совершенно отпадает описанное в § 21.2 особое определение функции смещения

В результате сглаженная характеристика будет иметь крутизну, зависящую в общем случае от амплитуды В и частоты внешних вибраций. Если же имеется нелинейность менее общего вида, а именно то частота не войдет в выражение для как, например, в случае рис. 21.6, а. Однако все же и в этом случае нужно потребовать, чтобы частота содержалась в определенных пределах, позволяющих считать воздействие по сравнению с медленно меняющимся.

Определив таким образом сглаженную характеристику можно затем по уравнению типа (21.31) или (21.44) с использованием линеаризации (21.45) исследовать любые медленно протекающие процессы в системе в целом обычными методами теории регулирования. Заметим, что линеаризация по формуле (21.45) в данной задаче справедлива для любых форм нелинейностей, так как здесь частная производная по совпадает с полной производной.

Что касается уравнения для колебательных составляющих (21.32) или, что то же самое, (21.33), то его нужно использовать в данной задаче только для определения желательной величины частоты внешнего периодического воздействия обеспечивающей возможность получения решения (21.47) для вынужденных колебаний и выполнение сделанного выше предположения о малости вынужденных вибраций на выходе системы . С этой целью подставим равенства (21.47) и (21.48) в уравнение (21.33). Тогда для удовлетворения последнего уравнения необходимо потребовать, чтобы модуль отношения

был очень мал. Следовательно, частота внешнего периодического воздействия должна лежать за пределами полосы пропускания частотной характеристики всей линейной части рассматриваемого участка системы (блоки 1 и 2).

Кроме того, чтобы амплитуда вынужденных вибраций на выходе системы была ничтожна, нужно взять частоту также и за пределами полосы пропускания отдельного блока 2 исследуемой системы (рис. 21.10).

Рис. 21.11.

Задача 2. Пусть на какую-нибудь систему автоматического управления (рис. 21.11) воздействует внешняя вибрационная помеха

и, кроме того, внешнее задающее или возмущающее воздействие которое по отношению к помехе является медленно меняющимся. Уравнение динамики системы приводится к виду (21.24).

Решение уравнения (21.24) ищется в виде (21.26), где — полезный сигнал управления, вибрационная помеха на входе нелинейного звена. Разбив уравнение (21.24) на два, а именно на (21.31) и (21.33), необходимо, согласно развитому выше общему методу, определить сначала с помощью (21.33) и (21.29) функцию смещения после чего можно решать дифференциальное уравнение (21.31) относительно переменной при заданной функции Однако в данной задаче этот общий метод решения можно упростить. Рассмотрим два случая.

В том случае, когда вся приведенная линейная часть системы (рис. 21.11), определяемая передаточной функцией

практически не пропускает вибраций с заданной частотой уравнение (21.33) можно записать в виде

Тогда амплитуда вибраций на входе нелинейного звена будет определяться формулой

где через обозначены вещественные и мнимые части соответственно для выражений

Формула (21.50) дает линейную зависимость с разными коэффициентами пропорциональности для разных частот вибраций (рис. 21.12).

В частности, для схемы рис. 21.11 они будут определяться структурой линейных блоков

Рис. 21.12.

По сравнению с общей теорией здесь существенно то, что амплитуда вибраций на входе нелинейного звена в этом случае не зависит от величины полезного сигнала Поэтому здесь, как и в задаче 1, отпадает необходимость отыскания функции смещения и характеристика нелинейного звена по полезному сигналу будет определяться непосредственно первой формулой (21.29), представленной графически, например, на рис. 21.6, а. Однако здесь нужно подставить в выражение или взять на графике рис. 21.6, а значение определяемое по формуле (21.50) или графиком рис. 21.12. Поэтому, в отличие от задачи 2, здесь даже для простейших нелинейностей очертание характеристики нелинейного звена по полезному сигналу и ее крутизна

будут зависеть не только от амплитуды В, но и от частоты вибрационных помех, а также, конечно, и от параметров линейных блоков 1 и 2 (рис. 21.11), входящих в формулу (21.50).

Рассмотрим далее другой случай, когда первая гармоника вибраций с заданной частотой пропускается линейной частью системы с передаточной функцией (21.49), но все же не пропускается каким-либо одним блоком системы. Пусть, например, в схеме на рис. 21.11 вибрации не пропускаются вовсе только управляемым объектом, а по внутренней обратной связи первая гармоника вибраций с частотой проходит. Тогда, вообще говоря, уже нельзя не считаться с зависимостью (21.34) амплитуды вибраций переменной х от величины полезного сигнала Однако и в этом случае возможно упрощение решения задачи по сравнению с общей теорией, состоящее в том, что при определении функции смещения выбрасывается часть системы, не пропускающая вибраций (рис. 21.13, а).

В этом случае нужно записать уравнение динамики только оставшейся части системы (рис. 21.13, а):

которое будет, конечно, проще общего уравнения (21.24). Отсюда по аналогии с (21.35) получим уравнение для определения амплитуды вибраций на входе нелинейного звена в виде

где через обозначены вещественные и мнимые части соответственно для и для выражения

Написанное уравнение позволяет определить зависимость амплитуды вибраций от величины полезного сигнала на входе нелинейного звена для каждой заданной внешней вибрационной помехи (т. е. для заданных графическим приемом, описанным в § 21.2 (рис. 21.7).

Рис. 21.13.

Полученная зависимость подставляется затем в первую из формул (21.29) для получения функции смещения которая в данном случае и будет являться характеристикой нелинейного звена по полезному сигналу. Вид ее будет зависеть от заданных амплитуды В и частоты внешних вибраций и от параметров системы, входящих в выделенную часть контура (рис. 21.13, а).

В обоих рассмотренных случаях пр оведя линеаризацию характеристики нелинейного звена или по полезному сигналу, можно обычными методами теории автоматического регулирования, используя линейные уравнения (21.44), выявить зависимость всех статических и динамических качеств данной нелинейной системы автоматического управления (и ее устойчивости) от амплитуды В и частоты вибрационных помех.

Линейная система выходила бы из строя при наличии помех тогда, когда полезный сигнал практически перестал бы различаться на фоне

помех. Но пока он нормально различается, все статические и динамические свойства системы по полезному сигналу, если система линейна, остаются неизменными. Вибрационная помеха при этом накладывается как дополнительная ошибка. Совсем иначе дело обстоит в нелинейной системе. Коэффициент усиления полезного сигнала в нелинейном звене, а вместе с ним и все качества и даже устойчивость системы могут настолько существенно зависеть от помехи (от В и что система может выйти из строя по этой причине раньше, чем перестанет различаться полезный сигнал на уровне помех. Это очень важно учитывать на практике.

С точки зрения упрощения решения задачи нужно всегда иметь в виду упрощенную формулу линеаризации (21.45), которая позволяет и во втором из рассмотренных случаев обходиться без определения функции смещения. В этом случае нужно подставить в (21.45) значение амплитуды вибраций на входе нелинейного звена найденное при отсутствии полезного сигнала любым из двух методов, изложенных в § 21.1, но для более простого уравнения системы (21.51). Зависимость будет при этом, в отличие от первого случая, криволинейной (рис. 21.13, б).

В заключение заметим, что тем же методом, что и в § 18.5, легко вычислять высшие гармоники вынужденных колебаний (см. § 9.4 книги [100]).