§ 16.3. Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора

Приведем примеры составления уравнений для нелинейных систем с сухим трением или зазором в механической передаче.

Следящая система с линейным и сухим трением.

В § 5.7 составлены уравнения следящей системы в линейном виде. Рассмотрим теперь такой случай, когда к линейному моменту трения добавляется еще момент сухого трения имеющий постоянную величину, равную некоторому значению с, и меняющий свое направление (знак) с изменением знака скорости вращения объекта (рис. 16.19). Следовательно, теперь уравнение управляемого объекта примет вид

где — угол поворота вала управляемого объекта, причем при

Важная особенность сухого трения состоит в том, что это (в отличие от релейных характеристик) далеко не всегда означает мгновенное переключение величины при Здесь возможны два варианта:

Рис. 16.19.

В первом случае скорость объекта пройдет через нулевое значение и его движение будет продолжаться без остановки дальше по закону (16.48). Во втором же случае произойдет остановка управляемого объекта, в течение которой будет иметь место не переключение, а медленное изменение величины в интервале с (или обратно), причем будет принимать все время определенные значения

В этом случае движение возобновится снова только тогда, когда вращающий момент достигнет значения и превысит его.

Если же остается то система будет неподвижна. Поэтому положение равновесия управляемого объекта оказывается неопределенным внутри некоторого отрезка, а именно при любом значении . Этим определяется зона застоя системы. Застой проявляется в том, что, с одной стороны, система не будет двигаться при изменении угла задатчика в определенном интервале и, с другой стороны, что система будет обладать ошибкой из-за сухого трения в положении равновесия. В процессе же движения системы в одну сторону с любой скоростью сухое трение внесет постоянную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке

Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы согласно (16.48) и (16.49) с учетом (16.50) будет иметь вид

Уравнения всех остальных звеньев данной следящей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде

Следящая система с зазором.

Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой механической передаче между двигателем и управляемым объектом. Все эти зазоры объединим в один и изобразим его условно в виде вилки со свободным ходом

Рис. 16.20.

Таким образом, между двигателем и управляемым объектом вклинивается теперь новое нелинейное звено, изображенное на рис. 16.20, а, входную величину которого обозначим

Характеристика этого нелинейного звена изображена на рис. 16.20, б. Смысл ее следующий. Если бы не было зазора, то равнялось бы и характеристикой была бы прямая под углом 45°, изображенная на рис. 16.20, б штрих-пунктиром. Вследствие зазора при движении в сторону возрастания угла Р эта прямая сдвинется вправо на величину (поводок прижмется к правой стороне вилки). При изменении направления движения сначала поводок будет перемещаться внутри зазора, не двигая вилку На характеристике это соответствует горизонтальному отрезку длиной или или или другие в зависимости от фактического значения Р в это время). Затем начнет двигаться и вилка, что будет соответствовать прямой сдвинутой влево от начала координат на величину

При равновесии системы поводок и вилка могут занимать любое относительное положение внутри зазора, что вызывает ошибку системы из-за зазора, равную При движении системы в одну из сторон будет постоянное отставание объекта из-за зазора на величину не считая того отставания, которое будет еще из-за нагрузки.

Уравнение управляемого объекта, включавшее в себя и двигатель теперь разобъется на два нелинейных. Первое нелинейное уравнение управляемого объекта с двигателем будет (ограничиваемся учетом одной постоянной времени)

(соответственно с поводком, прижатым к вилке, и с поводком, свободно движущимся внутри зазора); меньше на величину , где — момент инерции управляемого объекта. Кроме этого, надо написать второе уравнение нелинейного звена с зазором, соответствующее характеристике рис. 16.20, б;

Следовательно, управляемый объект будет иметь остановки при своих колебаниях, соответствующие участкам и т. д. характеристики рис. 16.20, б.

Линейная часть системы остается такой же, как в предыдущем примере, т. е. (16.53).

Рис. 16.21.

Система автоматического регулирования давления (учет сухого трения).

Рассмотрим систему (рис. 14.7), уравнения которой в линейном виде были получены в § 14.2. В чувствительном элементе 2 масса незначительна но зато существенное значение может иметь сухое трение. Поэтому уравнение движения штока мембраны запишем в виде

где — сила сухого трения, имеющая постоянную величину с, меняющая направление при изменении знака скорости (рис. 16.21, а) и могущая принимать любые значения во время остановки, т. е.

Р — сила давления воздуха камеры на мембрану, — упругая сила мембраны, — сила пружины.

В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениям (14.27) и (14.48) получим вместо (14.47) следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена;

где - площадь мембраны, — номинальное давление в камере.

Построим характеристику этого нелинейного звена с сухим трением в координатах . Легко видеть, что первое из уравнений (16.58) соответствует прямым и при а второе уравнение — отрезкам и т. на рис. 16.21, б. Из сравнения рис. 16.21, б и рис. 16.20, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна 6, чего совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса (момент инериии).

Все остальные звенья системы (рис. 14.7) образуют линейную часть, единое уравнение которой при будет