§ 6.6. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.) разомкнутой системы.

Построение л.а.х. производится по выражению

где — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (6.29).

Построение производится по значению частотной передаточной функции (6.29). Для построения удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.10.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду

При подстановке получаем

Фаза (аргумент) частотной передаточной функции

На основании (6.34) и (6.35) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую л. а. х., для чего на стандартной сетке (рис. 6.25) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах

Рис. 6.25.

Для определенности построения возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде

которой соответствует выражение для модуля в логарифмических единицах

Примем, что выполняется условие Тогда для сопрягающих частот (рис. 6.25) будет выполнено условие

Построение асимптотической л. а. х. начинается с области низких частот Если частота меньше первой сопрягающей частоты: то выражение (6.36) приобретает вид

которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящая через точку А с координатами и через точку Е с координатами . Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В), Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (6.34), то необходимо «изломать» л. а. х. на 20 дб/дек вниз, т. е. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (6.34), то соответственно необходимо «изломать» л.а.х. на 20 дб/дек вверх.

В соответствии с выражением (6.36) для рассматриваемого примера в точке В необходимо «изломать» л. а. х. на вниз, в точке С — на

20 дб/дек вверх и в точке D — на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек.

Аналогичное построение л. а. х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должей быть равен Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами или по точке пересечения асимптоты с осью частот (осью нуля децибел), которая имеет координаты

Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид

Каждый из углов представляет, по сути дела, одну и ту же зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость (см. рис. 6.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.37).

Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (6.34). Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, то в выражениях (6.34) и (6.35) появятся члены, имеющие соответственно вид . В этом случае для построения л. а. х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательное звено, то вместо выражения (6.34) можно записать

Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4.18.

Аналогичным образом строится л. ф. х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18.

В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, построение можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от 0 до

Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива или нейтральна. Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка.

Как следует из рис. 6.16, 6.18 и 6.19, в абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях, меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать —180° четное число раз (два, четыре и т. д.).

Это позволяет легко определить устойчивость по виду л. а. х. и л. ф. х. разомкнутой системы. На рис. 6.26, а изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения л. а. х. с осью децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения

Рис. 6.26

На рис. 6.26, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4).

На рис. 6.26, в изображен случай колебательной границы устойчивости и на рис. 6.26, г — случай неустойчивой системы.

Л.а.х. и л. ф. х., построенные в качестве примера на рис. 6.25, соответствуют устойчивой системе.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, а также для систем, имеющих астатизм любого порядка, требования к л. ф. х. всегда можно сформулировать на основании вида амплитудно-фазовой характеристики, соответствующей устойчивой системе.

Рис. 6.27.

Так, например, для системы с астатизмом третьего порядка в случае устойчивой в разомкнутом состоянии системы (см. рис. 6.20) л. ф. х. должна проходить так, как это изображено на рис. 6.27. Фазовая характеристика при низких частотах начинается со значения фазового сдвига Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолютному значению так, чтобы . Фазовая характеристика должна затем «обогнуть» точку пересечения л. а. х. с осью нуля децибел (точку 2), после чего фазовые сдвиги могут быть любыми по величине.

Аналогичным образом можно сформулировать требования к л. ф. х. и в других случаях.

Иногда для определения устойчивости пользуются не л. а. х. и л. ф. х., а логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы,

мы, построенной в координатах «модуль в децибелах — фаза» или «модуль в децибелах — запас по фазе» (см. рис. 4.12). Для устойчивой системы эта характеристика должна обогнуть справа точку с координатами . На рис. 4.12 изображена характеристика, соответствующая устойчивой системе.