§ 13.4. Устойчивость и качество регулирования

Для систем с переменными параметрами понятие устойчивости имеет некоторую специфику. Если система работает ограниченный интервал времени, то понятие асимптотической устойчивости (см. § 6.1) практически теряет свой смысл. Однако для квазистационарных систем при сравнительно медленном изменении коэффициентов уравнения (13.1) представляется возможным сформулировать понятие устойчивости следующим образом.

Будем считать систему с переменными параметрами устойчивой на заданном интервале времени Г, если ее нормальная функция веса (13.4) или (13.5)

затухает во времени для всех фиксированных значений лежащих внутри этого интервала. Это условие можно записать следующим образом:

Если для системы получена нормальная функция веса, то вид ее и определяет устойчивость системы.

Однако в некоторых случаях имеется сопряженная функция веса (13.6) или (13.7), которая связана преобразованием Лапласа с параметрической передаточной функцией (13.62) и преобразованием Фурье с параметрической частотной передаточной функцией (13.58) или (13.59). Поэтому более просто можно исследовать вопрос затухания функции веса вдоль аргументов (смещение) или 0 (реверс-смещение). Условие затухания вдоль этих аргументов можно записать следующим образом:

Однако затухание сопряженной функции веса и выполнение условия (13.84) еще не означает затухания нормальной функции веса и выполнения условия (13.83). Заметим, что в системах с постоянными параметрами не наблюдается такой неопределенности, так как для них совпадают оба разреза рельефа функции веса: и оба интеграла: определяемые формулами (13.83) и (13.84).

Можно показать [118], что для систем, описываемых дифференциальным уравнением вида

выполнение условия (13.84) практически обеспечивает выполнение условия (13.83). В этих системах исследование устойчивости может быть проведено на базе параметрической передаточной функции.

Исследование затухания сопряженной функции веса может производиться как по ее виду, если она известна для рассматриваемой системы, так и на основании отсутствия полюсов параметрической передаточной функции замкнутой системы в правой полуплоскости и на мнимой оси. Для этой цели могут привлекаться известные критерии устойчивости, например критерий Михайлова, критерии Найквиста и др.

Формулы главы 5, дающие связь между передаточными функциями замкнутой системы , разомкнутой системы и передаточной функцией по ошибке сохраняют свою силу и для параметрических передаточных функций.

Качество регулирования может быть оценено по виду переходного процесса (переходной функции или функции веса) в соответствии с § 8.4. Для этой цели должны использоваться нормальная функция веса и нормальная переходная функция, определяемые для фиксированного момента времени

Рассмотрим теперь точность воспроизведения задающего воздействия в следящих системах. Составим дифференциальное уравнение (13.1) так, чтобы в левой части находилась ошибка а в правой — задающее воздействие

Реакция системы на дельта-функцию в правой части представляет собой функцию веса ошибки

В соответствии с формулой (13.11) ошибку системы можно представить

Разлагая задающее воздействие в ряд Тейлора около точки и подставляя его в (13.86), получаем

Ограничимся случаем, когда где — время затухания функции веса. Тогда верхний предел интегрирования в (13.87) можно положить равным бесконечности. В результате (13.87) можно представить в виде

Здесь введено понятие коэффициентов ошибок, определяемых выражением

В отличие от коэффициентов ошибок системы с постоянными параметрами здесь они получаются зависящими от времени.

Коэффициенты ошибок можно вычислить с помощью параметрической передаточной функции по ошибке . Из (13.62) следует

Дифференцируя по и положив затем получаем формулу для определения коэффициента:

Коэффициенты ошибок могут быть также получены делением числителя на знаменатель так, чтобы получить ряд по возрастающим степеням .

Коэффициенты ошибок могут также определяться для возмущающего воздействия по соответствующей функции веса или по параметрической передаточной функции относительно возмущающего воздействия.