§ 5.6. Управляемость и наблюдаемость

Рассмотрим -мерное пространство состояния X, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки определяемое значениями фазовых координат

Пусть в пространстве состояния X заданы два множества . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление и определенное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку в пространстве X из подобласти в подобласть

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояния X в начало координат. Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояния X перейдем к другому пространству X посредством неособого преобразования причем , где — матрица коэффициентов

Тогда вместо (5.87) будем иметь

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования приводит к эквивалентным системам различной структуры.

При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (5.91) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у. В первом случае система будет не полностью управляемой, а во втором — не полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения (5.87) могут быть представлены в виде

Это иллюстрирует рис. 5.15. Набор фазовых координат соответствует управляемой части фазовых координат, а набор — неуправляемой части.

Рис. 5.15.

Рис. 5.16.

Р. Калманом [50] был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений (5.91), совпадает с рангом матрицы

При система полностью управляема, при не полностью управляема и при полностью неуправляема.

На рис. 5.16, а изображен простейший пример. Если рассматривать выходную величину при ненулевых начальных условиях, то можно записать

где определяются начальными условиями до приложения входного сигнала — вынужденная составляющая. Система устойчива при а

Если начальные условия до приложения были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

В этом случае по интегралу Дюамеля — Карсона

Как следует из выражений (5.95) и (5.96), система во втором случае описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, что

При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточных функций по управлению

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде

Эти уравнения отличаются от (5.87) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для у и и, ни в первое уравнение, куда входят только фазовые координаты группы Группа фазовых координат относится к ненаблюдаемым. Это иллюстрирует рис. 5.17.

Р. Калманом [50] показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы

При система полностью наблюдаема, при — не полностью наблюдаема при полностью ненаблюдаема.

Рис. 5.17.

На рис. 5.16, б изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат: управляемую, но ненаблюдаемую часть управляемую и наблюдаемую часть неуправляемую и ненаблюдаемую часть и неуправляемую но наблюдаемую часть

Исходные уравнения системы (5.87) в этом случае можно для самого общего случая записать следующим образом:

Левая часть характеристического уравнения (5.88) системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.