РАЗДЕЛ III. ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ГЛАВА 13. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ 13.1. Основные понятия

Линейными системами с переменными параметрами называются системы, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями с переменными во времени коэффициентами:

Коэффициенты являются функциями времени, которые задаются либо графиками, построенными на основании эксперимента, либо аналитически.

Переменные коэффициенты в уравнении системы автоматического регулирования (13.1) возникают вследствие наличия переменных коэффициентов хотя бы в одном звене системы.

Так, например, у подвижного объекта (корабля, самолета, ракеты) с течением времени вследствие выгорания топлива происходит изменение массы и моментов инерции.

Если объект при своем движении меняет скорость и высоту, то возможно изменение его аэродинамических коэффициентов.

Рис. 13.1.

Рассмотрим переходную функцию и функцию веса системы с переменными параметрами. Так как коэффициенты уравнения (13.1) меняются с течением времени, то эти функции будут зависеть от момента приложения единичного скачка или единичного импульса на входе. На рис. 13.1, а изображен график изменения одного из коэффициентов уравнения (13.1) и переходная функция

где — текущее время, отсчитываемое от некоторого момента, соответствующего, например, включению системы регулирования или началу изменения переменных параметров; — время, соответствующее поступлению на вход единичной ступенчатой функции; — текущее время, отсчитываемое от момента приложения ступенчатой функции.

Если теперь на вход подать единичную импульсную функцию, которую можно представить как предел отношения

то процесс на выходе, т. е. функцию веса, в силу принципа суперпозиции можно представить в виде разности двух смещенных на переходных функций с измененным в раз масштабом:

Правая часть этого выражения представляет собой производную от переходной функции по аргументу й, взятую с обратным знаком. Таким образом, для функции веса получаем (рис. 13.1, б)

Как следует из (13.3), функция веса является функцией двух переменных: времени соответствующего моменту поступления на вход системы единичного импульса, и текущего времени (или ). В связи с этим функцию веса можно изобразить в виде некоторой поверхности (рис. 13.2).

Рис. 13.2.

Эта поверхность переходит в плоскость при . Границе перехода поверхности в плоскость соответствует биссектриса Это обстоятельство объясняется тем, что в реальных системах реакция не может появиться ранее приложения на входе системы импульса. Поэтому при функция веса должна быть тождественно равна нулю.

Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной лоси (рис. 13.2, а), дает весовую функцию для фиксированного момента приложения единичного импульса на входе системы Эта функция называется нормальной весовой функцией системы с переменными параметрами:

Она является параметрической функцией, так как в нее входит фиксированный параметр

Нормальная весовая функция может быть сделана зависящей от аргумента подстановкой . В результате получаем функцию

Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси дает кривую, образованную ординатами семейства нормальных весовых функций для фиксированного значения времени (рис. 13.2, б). Эта кривая может быть получена путем обработки семейства нормальных весовых функций, построенных для различных моментов приложения единичного входного импульса (рис. 13.3). Получающуюся зависимость будем называть сопряженной функцией веса;

Она также является параметрической функцией, так как содержит параметр

Сопряженная функция веса является функцией смещения но может быть представлена также как функция аргумента (рис. 13.2, б), называемого реверс-смещением, поскольку 0 отсчитывается от точки в сторону, противоположную смещению

Рис. 13.3.

Это осуществляется подстановкой в сопряженную весовую функцию значения при . В результате получаем

Проиллюстрируем все сказанное примером. Пусть функция веса системы с переменными параметрами имеет вид

Зафиксировав смещение и положив, например, получаем нормальную функцию веса:

или в другом виде, при переходе к аргументу

Зафиксировав текущее время и положив, например, получаем сопряженную функцию веса

Перейдя к реверс-смещению имеем

Заметим, что в системах с постоянными параметрами весовая функция является функцией только времени и не зависит от момента приложения входного импульса. Рельеф функции веса (рис. 13.2) в этом случае получается цилиндрическим, а оба рассмотренных выше сечения (рис. 13.2, а и б) совпадают по форме и отличаются только знаками аргументов. При переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двух функций веса — нормальной и сопряженной:

Пусть на систему (13.1) с функцией веса действует входной сигнал Элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени будет

Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозиция элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от 0 до

Так как при функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать в виде

Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входной и выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т. е. разрез рельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента

Если использовать реверс-смещение то интегральная связь (13.9) может быть представлена в виде интеграла свертки

Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависит только от времени . В этом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки (7.44)