§ 24.4. Периодические режимы, обусловленные квантованием по уровню

Более полная по сравнению с рис. 24.4 структурная схема системы регулирования с ЦВМ изображена на рис. 24.14. Здесь добавлены преобразователи непрерывной величины в дискретную (Н — Д) и дискретной в непрерывную (Д — Н). Преобразователи представляют собой нелинейные элементы.

Рис. 24.14.

В преобразователях число разрядов обычно велико (10—20). В преобразователях число разрядов бывает меньше и может даже составлять единицу.

На рис. 24.15 изображены статические характеристики преобразователей. На рис. 24.15, а показана статическая характеристика входного преобразователя для задающего воздействия. По оси абсцисс отложено непрерывное значение а по оси ординат — цифровое представление Величина единицы младшего разряда обозначена Коэффициент передачи для линеаризованной характеристики

Число отличных от нуля уровней рассматриваемой характеристики, если — число двоичных разрядов (без учета знакового разряда), будет

На рис. 24.15, б изображена статическая характеристика входного преобразователя для регулируемой величины. Символом у обозначено непрерывное ее значение, а у — цифровое представление.

Крутизна линеаризованной характеристики

где цена младшего разряда. Число отличных от нуля уровней характеристики, если число двоичных разрядов преобразователя, будет

Обычно

Объединенная статическая характеристика входного преобразователя для канала ошибки показана на рис. 24.15, в. По оси абсцисс отложена ошибка а по оси ординат — ее цифровое представление х.

Рис. 24.15.

Характеристика справедлива для случая, когда задающее воздействие где — целое число, либо Первый случай рассматривается обычно при исследовании периодических режимов, вызванных квантованием по уровню.

В общем случае статическая зависимость определяет область расположения характеристик, которая показана на рис. Характеристика, изображенная на рис. 24.15, в, представляет собой, по сути, некоторую среднюю характеристику этой области.

На рис. изображена статическая характеристика выходного преобразователя. По оси абсцисс отложена выходная величина ЦВМ в виде цифры а по оси ординат — выходная величина преобразователя совместно с экстраполятором. Обычно эта величина представляет собой электрическое напряжение или ток. Единица младшего разряда для выходной величины обозначена

Крутизна линеаризованной характеристики будет здесь Если или при (в установившемся режиме), то общий линеаризованный коэффициент передачи ЦВМ совместно с входным и выходным преобразователями будет

Для этого случая на рис. 24.15, е изображена результирующая статическая характеристика ЦВМ совместно с преобразователями в относительном (цифровом) виде, т. е.

Если число двоичных разрядов выходного преобразователя а, то общее число отличных от нуля уровней статической характеристики будет

На рис. 24.16 изображены статические характеристики при и 3 для случая, когда максимальное значение выходной величины одно и то же.

Наличие рассмотренных нелинейностей в ЦВМ может вызвать периодические режимы в системе регулирования. В случае их устойчивости получаются автоколебания.

Рис. 24.16.

Однако термин «автоколебания» здесь несколько условен, так как частота периодических режимов жестко связана с частотой выдачи данных ЦВМ.

При исследовании периодических режимов, вызванных квантованием по уровню [137], можно воспользоваться методом гармонической линеаризации, изложенным в главе 18.

Однако следует сделать предварительные замечания. Если то статические характеристики входного и выходного преобразователей могут быть объединены в одну (рис. 24.15, е). Тогда получается система с одним нелинейным звеном, которая может быть исследована достаточно просто.

Если в том смысле, что в ЦВМ вводится некоторая корректирующая программа (см. § 24.3), то получаются, вообще говоря, два нелинейных звена, разделенных линейными фильтрами. Исследование подобных систем оказывается более сложным.

Однако при наличии корректирующей программы можно выделить частный случай, когда при поступлении на вход ЦВМ целого числа х на выходе ее будет также неокругляемое целое число . В этом случае выходная величина ЦВМ будет точно попадать на линеаризованную характеристику (рис. 24.15, д), что эквивалентно исчезновению влияния одной нелинейности в пределах отсутствия насыщения выходного преобразователя.

Примером такой корректирующей программы ЦВМ может служить приведенная в табл. 24.2 передаточная функция

Если А и В — целые числа, то сформулированное выше условие будет выполняться.

В дальнейшем изложении будет рассматриваться только случай, когда две нелинейности сводятся к одной, отнесенной ко входу ЦВМ.

Рассмотрим условия существования периодических режимов в системе регулирования с ЦВМ. Согласно методу гармонической линеаризации приближенное уравнение периодического режима можно представить в виде

где q — коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента (входного устройства ЦВМ) по первой гармонике при учете квантования по времени в нормированном (безразмерном) виде, — дискретная частотная передаточная функция линейной части системы в разомкнутом состоянии.

В уравнении (24.75) предполагается, что коэффициент передачи входного устройства присоединен к линейной части и рассматривается нелинейность единичного вида (см. рис. 24.15, е).

В отличие от коэффициентов гармонической линеаризации непрерывных систем (см. главу 18), коэффициент зависит не только от амплитуды на входе нелинейного элемента но и от фазы входного воздействия и частоты воздействия где — относительный полупериод. Таким образом, . В результате уравнение периодического режима (24.75) приобретает вид

Частота периодического режима находится в целочисленном соотношении с частотой выдачи данных Таким образом, все возможные частоты периодических режимов заранее известны.

Рис. 24.17.

Определение периодических режимов можно производить несколькими способами. Возможно совместное рассмотрение годографа дискретной частотной передаточной функции линейной части и графиков — что показано на рис. 24.17. Точка пересечения при (для данного указывает амплитуду и фазу периодического режима. Можно пользоваться и обратными характеристиками.

Возможно использование кривых Михайлова. Для этого целесообразно представить коэффициент гармонической линеаризации в виде

Уравнение характеристической кривой будет

Выделим в выражении (24.78) вещественную и мнимую части:

где коэффициенты зависят от

Условию существования периодических режимов соответствуют

Поскольку возможные частоты периодических режимов находятся в целочисленном отношении с частотой выдачи данных ЦВМ, то уравнения (24.80) позволяют отыскивать амплитуду и фазу

Рассмотрим порядок определения коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейной зависимости

Пусть ко входу нелинейного элемента с симметричной характеристикой приложено гармоническое воздействие, заданное своими дискретными значениями:

Тогда на его выходе получим сигнал

где причем если нечетно, и если четно.

Коэффициенты этого тригонометрического полинома выражаются формулой Бесселя [114] (см. также § 15.2)

Если нечетно, то при

Далее, как это следует из метода гармонической линеаризации, нужно ограничиться в (24.82) учетом лишь первой гармоники, т. е. использовать гипотезу фильтра. Для системы регулирования с ЦВМ определение периодических режимов при может быть произведено точно. Из (24.82) следует: для

где

Комплексная амплитуда

При определим приближенное значение учитывая только первую гармонику;

Комплексная амплитуда

Отношение в комплексной форме дает выражение для коэффициента гармонической линеаризации:

Сложная зависимость коэффициентов гармонической линеаризации не только от амплитуды но и от сдвига фаз а также относительного полупериода приводит к значительной трудоемкости определения периодических режимов в системе регулирования с ЦВМ. Дополнительные осложнения возникают при попытке определить устойчивость периодических режимов. Однако при постановке задачи синтеза обычно не ставится вопрос об отыскании периодических режимов. Наоборот, может быть поставлена задача так синтезировать систему регулирования с ЦВМ, чтобы исключить возможность возникновения периодических режимов в согласованном положении системы регулирования при где — цена младшего разряда входного преобразователя.

Рис. 24.18.

Рассмотрим, каким образом необходимо учитывать квантование по уровню, если синтез системы регулирования вести на базе типовых желаемых л. а. х. При этом наибольший интерес представляет случай одноразрядного выходного преобразователя, которому соответствует максимальное отклонение характеристики преобразователя от линейной зависимости.

Если ограничиться случаем невозможности возникновения периодических режимов (рис. 24.17), то вместо годографа величины необходимо построить огибающую области, где расположены все возможные кривые — при различных значениях

В результате построения можно показать [131], что запретной областью для годографа величины с некоторым запасом является сектор (рис. 24.18) с углом раствора вне зависимости от принятого числа разрядов рассматриваемой нелинейной характеристики.

Периодические режимы в системе будут невозможны, если амплитуднофазовая характеристика линейной части системы, построенная по функции на фиксированных относительных частотах (абсолютная частота не будет заходить в запретную область.

При достаточно больших значениях относительного полупериода т. е. при малых частотах, и годограф нелинейной части стремится к годографу соответствующей нелинейности в непрерывной системе регулирования.

Для отыскания условий невозможности появления периодических режимов в согласованном положении [131] обратимся к типовым л. а. х. (рис. 24.10). Эти л. а. х. построены на рис. 24.19. Там же нанесены запретные области для фазовых характеристик аналогично тому, как это было сделано на рис. 8.30. Запретные зоны построены симметрично относительно фазового сдвига . Высота запретных зон в угловой мере связана с частотой искомых периодических решений При высота запретной зоны равна 180°, при равна 90°, при равна 60° и т. д.

Для исключения периодических режимов фазовая характеристика на фиксированных частотах

не должна заходить в запретные зоны, построенные для этого же значения

Рис. 24.19.

Рис. 24.20.

Если фазовая характеристика на фиксированной частоте (24.89) будет находиться запретной зоне, соответствующей тому же значению то возможно существование периодического режима с частотой

Рассмотрим вначале л. а. х. «несимметричного» вида (рис. 24.20), которой соответствует передаточная функция непрерывной части

Соответствующая дискретная частотная передаточная функция имеет вид

где

Сопоставление фазовой характеристикиф (X) и запретных зон (рис. 24.20) показывает, что периодические режимы при рассматриваемых типах нелинейностей невозможны, если общий коэффициент усиления разомкнутой цепи с учетом коэффициента усиления нелинейной части выбран на основании

формул (24.42) и (24.43):

где М — допустимое значение показателя колебательности.

Получим теперь условие отсутствия периодических режимов для типовых л. а. х., изображенных на рис. 24.19. Рассмотрим наиболее тяжелый случай системы с астатизмом второго порядка (рис. 24.19, в). Для доказательства определим условие, при котором фазовая характеристика не будет заходить в соответствующие запретные зоны на фиксированных частотах (24.89). Запишем это условие следующим образом:

где

Формулу (24.94) можно представить в следующем виде:

Для частот, лежащих левее частоты среза формулу (24.95) с достаточной точностью можно привести к виду

или

Учитывая, что и используя (24.21), получим из (24.97) простое условие отсутствия периодических режимов:

Последнее неравенство выполняется при М 2.

Рассмотрим теперь случаи При частота периодического режима а абсолютная псевдочастота Однако на частоте запретная область для фазовой характеристики отсутствует (рис. 24.19), что говорит о невозможности существования периодического режима.

При частота периодического режима , а абсолютная псевдочастота Запретная зона на частоте также отсутствует (рис. 24.19), что говорит о невозможности существования периодических режимов и на этой частоте.

Фазовые характеристики для типовых л. а. х. (рис. 24.19, а и б) в области низких частот отстоят от запретной области дальше, чем у рассмотренной выше л. а. х., соответствующей астатизму второго порядка. Поэтому полученное выше условие невозможности появления периодических режимов будет справедливым и для л. а. х. этих типов.

Симметричные периодические режимы.

Несмотря на то, что в согласованном положении можно добиться отсутствия периодических режимов,

в системах с ЦВМ периодические режимы, вызванные квантованием по уровню, будут существовать практически всегда. Это объясняется тем, что при наличии ненулевой установившейся ошибки начальная точка статической характеристики входного преобразователя смещается из начала координат в другую точку (рис. 24.21, а).

Рис. 24.21.

Если начало отсчета сместилось в точку 1, то это не дает отличия в получаемой характеристике от исходного случая равенства нулю входного и выходного сигналов. Если начало отсчета сместится в точку 2. то результирующая статическая характеристика будет иметь вид, изображенный на рис. 24.21, б.

Рис. 24.22.

Требуемое дробное значение выходной величины преобразователя может быть получено только в результате периодического переключения от уровня к уровню и обратно. Это будет симметричный периодический режим, относительный полупериод которого может быть различным:

Системы с ЦВМ стараются делать так, чтобы амплитуда симметричного периодического режима не превышала единицы младшего разряда [67]. Тогда в подобном режиме входная величина ЦВМ (сигнал ошибки) будет представлять собой периодическую решетчатую функцию, изображенную на рис. 24.22. Для этого случая нелинейная зависимость для входного преобразователя может быть записана в виде (см. рис. 24.21, б)

где х — переменная составляющая ошибки, вызванная периодическим режимом, ее цифровое представление.

Для определения коэффициента гармонической линеаризации необходимо положить где Далее, используя формулу (24.84) и для приведения к безразмерному виду вводя в соответствии с (24.69) нормирующий множитель получим для случая из (24.88)

Амплитудно-фазовые характеристики величины — изображены на рис. 24.23, а. Они представляют собой прямые, расположенные во втором и третьем квадрантах.

Для случая аналогичным образом можно получить

Амплитудно-фазовые характеристики представляют собой прямые линии, расположенные в секторе - 180° (рис. 24.23, б). При модуль

Характеристики расположены в секторе —180° (рис. 24.23, в).

причем характеристики расположены в секторе —180° (рис. 24.23, г). При что соответствует непрерывному случаю, сектор расположения а. ф. х. стягивается в линию, совпадающую с отрицательной вещественной полуосью.

Уравнение периодического режима имеет вид (24.76). Его можно решить графически (рис. 24.17) или аналитически. В последнем случае необходимо приравнять —

Рис. 24.23.

Рис. 24.24.

В результате при наличии точки пересечения, как это показано, например, на рис. 24.24, а, для амплитуда ошибки или, что все равно, амплитуда регулируемой величины

объекта (рис. 24.14)

Под знаком модуля в (24.103) находится значение частотной передаточной функции при или при

При колебаниях с относительным полупериодом если имеется точка пересечения двух годографов, как, например, показано на рис. 24.24, б,

Аналогичным образом для колебаний при (рис. 24.24, в)

где

Следует заметить, что в системе обычно могут существовать симметричные периодические режимы с различными значениями полупериода При этом для каждого конкретного значения периодический режим в случае управляемого объекта без самовыравнивания (астатического) оказывается нейтрально-устойчивым относительно среднего значения регулируемой величины. В результате этого ни один из симметричных периодических режимов с фиксированным значением не может существовать длительное время. Медленные движения объекта, вызванные наличием возмущений, приводят к непрерывным переходам периодических режимов от одного значения к другому

Из всех возможных периодических режимов обычно наиболее тяжелым для системы с точки зрения влияния ограниченной линейности канала является режим при Это связано с тем, что при использовании дискретных корректирующих программ ЦВМ, т. е. при , более вероятно применение алгоритмов, эквивалентных дифференцирующим контурам, которые вызывают подъем высоких частот.

Выходная величина ЦВМ в режиме симметричных периодических колебаний может быть получена, если входную решетчатую функцию (рис. 24.22) пропустить через фильтр с передаточной функцией Это делается на основании формул (15.175), (15.178) и (15.180), которые позволяют вычислить параметры периодического режима на выходе дискретного фильтра при известных параметрах периодического режима на входе.

Покажем, как это делается для случая когда число гармоник оказывается равным единице. В соответствии с (15.175) амплитуда сигнала на выходе ЦВМ (рис. 24.14)

где — цифровые представления входного и выходного сигналов ЦВМ

Пусть, например, в ЦВМ используется алгоритм (табл. 24.2)

Тогда для режима, изображенного на рис. 24.22, при имеем для

т. е. амплитуда колебаний на выходе ЦВМ превышает амплитуду колебаний на входе в 19 раз.

При расчет должен быть произведен для каждой гармоники и найдена их сумма, либо использованы формулы (15.178) или (15.180).

Покажем теперь, что в системах с типовыми л. а. х. (рис. 24.10 и табл. 24.2) для симметричных периодических режимов амплитуда ошибки при не превосходит половины цены младшего разряда входного преобразователя. Пусть на входе нелинейного элемента (рис. 24.21, б) действует сигнал Запишем амплитуду входного сигнала в виде где — целое, а — дробное число. Начальная фаза пусть находится в пределах

Если начальная фаза удовлетворяет последнему неравенству, то на выходе нелинейного элемента будет последовательность (24.85):

Нормированный коэффициент гармонической линеаризации

В точке пересечения двух годографов (рис. 24.24, а) имеем — Так как то получаем

откуда

Так как то при из последнего равенства следует, что , а дробная часть относительной амплитуды колебаний

Квазипериодические режимы.

Если установившееся значение сигнала на выходе входного преобразователя должно соответствовать точке 3 на рис. 24.21, а, то в системе будет существовать несимметричный периодический режим.

Установившееся значение на выходе преобразователя можно представить в виде

где — целое число, дробная часть, причем Так как на самом деле на выходе может существовать сигнал или то требуемое значение получается как среднее значение в периодическом режиме. Как среднее в колебательном режиме получается и значение дробной части

где число тактов, когда на выходе существует величина число тактов, когда на выходе существует величина число тактов полного периода колебаний.

Из (24.115), учитывая, что можно найти следующую зависимость:

Знак модуля введен в (24.116) для обобщения на случай произвольного знака А. Вместо в формуле (24.116) записан средний полупериод по следующим соображениям. Числа могут быть в каждом реальном цикле колебаний только целыми, а А — произвольное число. Поэтому зависимость (24.115) может, как правило, кроме специально подобранных значений А, выполняться только в среднем. Так, например, для случая, когда некоторые подобные режимы изображены на рис. 24.25.

Рис. 24.25.

В формулах (24.115) и (24.116) числа могут быть целыми, вообще говоря, для любых значений А, если под понимать число тактов не в одном цикле колебаний, а в течение многих циклов. Однако при этом все эти числа могут стремиться к бесконечности или во всяком случае быть очень большими. Период колебаний в этом случае не соответствует реально наблюдаемым колебаниям в системе, у которых будет существовать некоторая преобладающая гармоника. Целью введения усредненного периода и является выявление частоты преобладающей гармоники.

Средний полупериод может быть как целым, так и дробным числом. Средние значения чисел могут быть также целыми и дробными. Такой режим движения будем называть квазипериодическим.

Проблема расчета квазипериодических режимов является весьма сложной. Поэтому ограничимся распространенным случаем, когда не в среднем, а в течение всего режима. Тогда формулы (24.115) и (24.116) приобретают вид

Рассмотрим вначале случай, когда — целое число. Для дробных частей по-прежнему имеют место зависимости вида (24.81) и (24.82), а также рис. 24,21, б. Однако комплексное значение амплитуды первой гармоники на выходе входного преобразователя определяется при более общим выражением;

Это выражение можно упростить, если учесть, что при при всех остальных значениях Тогда

так как сумма членов вида при равна нулю. Из (24.120) получается нормированный коэффициент гармонической линеаризации

Расчет параметров периодического режима, когда — целое число, не представляет труда.

Рис. 24.26.

Рис. 24.27.

По значению ошибки в установившемся режиме определяется относительный полупериод колебаний Затем из (24.76) находится амплитуда колебаний на выходе системы:

где К определяется формулой (24.106). На рис. 24.26 показано графическое построение для

Если представляет собой дробное число, то колебания носят квазипериодический характер. Их приближенный расчет может быть сделан следующими методами.

1) Введем предположение, что при переходе от одного периодического режима с целым значением к другому с новым целым значением амплитуда первой гармоники и частота усредненного периодического режима изменяются непрерывно и плавно. В части частоты колебаний это полностью подтверждается формулой (24.116). Тогда для расчета амплитуды первой гармоники колебаний можно воспользоваться тем же графическим построением (рис. 24.26) и формулами (24.116) и (24.122) при замене в последней на на

2) Второй метод заключается в том, что для усредненного значения изображенного на рис. 24.27, а с учетом действия экстраполятора (пунктирная

линия), находится обычными приемами разложения в ряд Фурье амплитуда первой гармоники

Далее может быть определена амплитуда колебаний на выходе системы пересчетом на вход (умножением на и умножением на модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы:

Здесь

— круговая частота и псевдочастота периодического режима (частота преобладающей гармоники).

3) Возможно использование способа расчета, когда рассматривается некоторый дополнительный усредненный режим движения на выходе непрерывной части (рис. 24.27, б), полученный припасовыванием на интервалах времени Далее в случае необходимости можно выделить в этом режиме первую гармонику. В отличие от предыдущих двух методов, здесь расчет может производиться и в тех случаях, когда время существования на выходе экстраполятора сигнала не подчиняется условию а может содержать произвольное число тактов.

Рис. 24.28.

Пример. Пусть передаточная функция непрерывной части

Дискретная частотная передаточная функция разомкнутой системы

где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи с присоединенным коэффициентом передачи ЦВМ (24.73).

Режим симметричных колебаний при построен на рис. 24.28, а. Амплитуда может быть найдена методом припасовывания:

Так как из условий устойчивости то Относительный полупериод Первая гармоника этого колебательного режима имеет амплитуду

Первая гармоника может быть также найдена из (24.103) для

что близко совпадает с (24.129).

Рассмотрим теперь несимметричные колебания. Зависимость от установившегося значения ошибки в соответствии с (24.114) и (24.118) представлена на рис. 24.29. Точками отмечены целочисленные значения

Рис. 24.29.

Воспользуемся первым изложенным методом. В соответствии с (24.122)

При формула (24.131) дает

При использовании второго метода в соответствии с (24.124)

При формула (24.133) переходит в (24.132).

Для того чтобы воспользоваться третьим методом, рассмотрим «средний» цикл колебаний. Он построен методом припасовывания для выходной величины на рис. 24.28, б.

Амплитуда колебаний

Амплитуда первой гармоники при разложении в ряд Фурье

полностью совпадает со значением (24.131).

Все полученные выражения для амплитуды первой гармоники показывают сравнительное постоянство ее для различных значений