§ 10.5. Методы повышения запаса устойчивости

Повышение запаса устойчивости, или демпфирование, системы регулирования сводится в конечном счете к рациональному перераспределению полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы для задающего или возмущающего воздействия. Передаточная функция замкнутой системы связана с передаточной функцией разомкнутой системы жестким соотношением. Поэтому под демпфированием можно понимать также рациональное перераспределение полюсов и нулей передаточной функции разомкнутой системы.

Ответить на вопрос, каким образом необходимо перераспределить полю и нули передаточной функции замкнутой или разомкнутой системы, можно на основании применения критериев устойчивости и критериев качества. Наиболее полно этот вопрос решается при помощи синтеза корректирующих средств. Некоторые методы синтеза будут изложены в главе 12.

Здесь будут рассмотрены только основные идеи, которые используются при изменении динамических свойств системы с целью повышения запаса устойчивости. Рассмотрение может вестись на основании различных критериев качества. Здесь это будет сделано на наиболее наглядных примерах, использующих амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

На рис. 10.13 изображена ветвь амплитудно-фазовой характеристики при положительных частотах для системы регулирования с астатизмом первого порядка. Будем предполагать, что в разомкнутом состоянии система устойчива (не имеет полюсов в правой полуплоскости). Тогда по виду амплитуднофазовой характеристики можно установить, что в замкнутом состоянии система будет неустойчивой. Это вытекает из того, что характеристика охватывает точку Задачей демпфирования является такая деформация амплитудно-фазовой характеристики, в результате которой характеристика не только не будет охватывать точку но будет достаточно удалена от этой точки. Величину требуемого удаления характеристики от точки можно установить, воспользовавшись каким-либо критерием качества. Здесь наиболее просто использовать показатель колебательности.

Тогда амплитудно-фазовая характеристика не должна заходить в окружность, соответствующую заданному значению показателя колебательности

Деформация амплитудно-фазовой характеристики с целью получения устойчивости, а также запаса устойчивости может производиться посредством использования корректирующих звеньев различного типа: последовательных, параллельных и обратных связей. Так как в линейной системе для каждого звена какого-либо типа может быть найдено эквивалентное звено другого типа, то достаточно рассмотреть действие звеньев одного определенного типа. Наиболее наглядно может быть прослежено действие последовательных корректирующих звеньев, и для них наиболее просто могут быть вычислены требуемые параметры. Поэтому в дальнейшем в основном будут рассматриваться последовательные корректирующие звенья.

Рис. 10.13.

Деформация амплитудно-фазовой характеристики может быть произведена четырьмя основными способами, которые будут рассмотрены ниже в отдельности.

Демпфирование с подавлением высоких частот.

Выведение амплитуднофазовой характеристики из запретной зоны (рис. 10.13) может быть осуществлено посредством подавления пропускания разомкнутой системой всех частот, которые превышают частоту соответствующую некоторой точке а на характеристике. Тогда амплитудно-фазовая характеристика примет вид, изображенный на рис. 10.13 пунктиром. Как видно из этого рисунка, деформированной характеристике будет соответствовать замкнутая система, которая является не только устойчивой, но и имеющей необходимый запас устойчивости.

Подавление усиления на высоких частотах всегда сопровождается появлением отрицательных фазовых сдвигов. Поэтому этот метод демпфирования может также называться демпфированием с внесением отрицательных фазовых сдвигов.

Подавление высоких частот может осуществляться различными способами. Наиболее просто это получается при введении последовательно в цепь регулирования апериодического звена первого порядка с относительно большой постоянной времени и коэффициентом передачи Передаточная функция такого звена

Легко показать, что подобное звено может всегда привести к получению желаемого запаса устойчивости в статических системах регулирования с минимально-фазовыми звеньями. Пусть, например, передаточная функция разомкнутой статической системы регулирования имеет вид

— вещественные или комплексные постоянные времени с положительными вещественными частями, общий коэффициент усиления, лежащий в пределах

Рис. 10.14.

Пусть л. а. х. и л. ф. х. соответствуют неустойчивой системе в замкнутом состоянии (рис. 10.14). Это определяется тем, что точка 2 лежит левее точки 1. Тогда, каковы бы ни были значения постоянных времени, входящих в (10.53), всегда можно отыскать такую частоту что для всех частот л. а. х. будет сколь угодно мало отличаться от первой низкочастотной асимптоты а фазовый сдвиг — от нулевого.

Если ввести теперь последовательно в цепь регулирования апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией (10.32) так, чтобы положительные ординаты л. а. х. располагались только в области частот сон (пунктирные характеристики на рис. 10.14), то в результате получится устойчивая система. Это вытекает из того, что левее частоты среза л. а. х. (точка 3 на рис. 10.14) передаточная функция разомкнутой системы со сколь угодно большой точностью может быть представлена в виде

Этой передаточной функции соответствует устойчивая в замкнутом состоянии система. Все остальные постоянные времени передаточной функции (10.33) не смогут нарушить устойчивости либо запаса устойчивости, так как соответствующие им сопрягающие частоты лежат значительно правее частоты среза л. а. х. и они могут деформировать только высокочастотные «хвосты» л. а. х. и л. ф. х. Получается, что введение большой постоянной времени делает все остальные постоянные времени относительно малыми, в результате чего и достигается эффект демпфирования.

Из рис. 10.14 видно, что этот результат может быть получен при любой положительной величине общего коэффициента усиления. Если зафиксировать положение точки 3, соответствующей частоте среза сос, то запас устойчивости в системе не будет нарушаться при сколь угодно большом увеличении К и одновременном увеличении Для этого нужно только выполнить условие

Демпфирование статических систем может быть осуществлено и более сложными корректирующими звеньями, вносящими подавление высоких частот и отрицательные фазовые сдвиги, например при помощи пассивного интегрирующего звена (табл. 10.1) или его аналогов (табл. 10.4).

Также можно показать, что в астатических системах первого порядка, состоящих из минимально-фазовых звеньев, желаемый запас устойчивости может быть всегда получен при введении последовательного пассивного интегрирующего звена, имеющего передаточную функцию вида

Цель будет всегда достигнута при достаточно больших значениях постоянных времени и Эффект демпфирования достигается здесь за счет того, что при увеличении результирующая передаточная функция разомкнутой системы с любой степенью точности может быть представлена в виде произведения (10.36) и сомножителя , а постоянные времени системы оказываются относительно малыми.

В астатических системах второго порядка требуемый запас устойчивости может быть получен при помощи подавления высоких частот только в некоторых случаях.

Достоинством демпфирования с подавлением высоких частот является то что система регулирования оказывается менее подверженной действию высокочастотных помех, так как корректирующее звено представляет собой фильтр низких частот.

Рис. 10.15.

Недостатком демпфирования с подавлением высоких частот является то, что снижение полосы пропускания системы означает понижение быстродействия. Поэтому такой метод демпфирования может применяться в тех случаях, когда снижение быстродействия системы является допустимым.

Демпфирование с поднятием высоких частот.

Выведение амплитудно-фазовой характеристики из запретной зоны может быть произведено поворотом ее высокочастотной части в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Это показано пунктиром на рис. 10.15.

Положительный фазовый сдвиг (фазовое упреждение) может быть получен посредством включения в канал регулирования звеньев дифференцирующего типа.

Если параллельно части основного канала регулирования включить идеальное дифференцирующее звено (рис. 10.6), то результирующая пере даточная функция будет иметь вид

При введении такого звена будет получен дополнительный положительный фазовый сдвиг

В области высоких частот фазовый сдвиг близок к 90°. Это и вызывает «закручивание» амплитудно-фазовой характеристики в высокочастотной области (рис. 10.15).

Одновременно с положительным фазовым сдвигом звено увеличивает пропускание высоких частот, так как модуль его частотной передаточной функции

будет тем больше, чем выше частота.

В случае, если положительный фазовый сдвиг, вносимый дифференцирующим звеном, является недостаточным для выведения амплитудно-фазовой характеристики из запретной зоны, могут применяться два дифференцирующих звена, включенных последовательно, что соответствует введению первой и второй производных от сигнала ошибки. Для идеальных дифференцирующих звеньев передаточная функция будет иметь вид

Дополнительный фазовый сдвиг в этом случае будет

Поднятие высоких частот будет здесь еще более заметным, так как модуль частотной передаточной функции этих звеньев

Реализация дифференцирующего звена, близкого к идеальному, может быть осуществлена, например, при использовании в следящей системе воспроизведения угла тахогенераторов. Этот случай будет описан ниже при рассмотрении конкретного примера. Хорошие результаты дает также применение гиротахометров и дифференцирующих операционных усилителей.

В системах автоматического регулирования наиболее часто употребляются пассивные дифференцирующие звенья, подобные рассмотренным в § 10.2 (см. табл. 10.1). Однако из табл. 10.1 следует, что положительный фазовый сдвиг вносится этими звеньями не за счет поднятия высоких, а за счет подавления низких частот. Это вытекает из вида их передаточной функции:

В установившемся состоянии коэффициент передачи звена . Поэтому введение такого звена в канал регулирования снижает общий коэффициент усиления разомкнутой цепи в раз.

С точки зрения выполнения требований по точности допустить такое снижение коэффициента усиления нельзя. Поэтому одновременно с включением в цепь пассивного дифференцирующего звена необходимо предусмотреть восстановление прежнего коэффициента усиления при помощи введения дополнительного усилителя или поднятия коэффициента усиления имеющегося усилителя. В результате общая передаточная функция пассивного дифференцирующего звена вместе с дополнительным усилителем будет иметь вид

Дополнительный фазовый сдвиг

Модуль частотной передаточной функции в этом случае

показывает на поднятие высоких частот. При коэффициент передачи и при имеем

Логарифмические частотные характеристики пассивного дифференцирующего звена совместно с дополнительным усилителем, компенсирующим затухание, вносимое звеном на низких частотах, изображены на рис 10.16

Здесь же пунктиром изображены характеристики идеального дифференцирующего звена, имеющего передаточную функцию вида (10.37). Как видно из сравнения этих характеристик, пассивное звено, в отличие от идеального, дает положительный фазовый сдвиг в ограниченной области частот при ограниченном поднятии высоких частот.

Аналогичный эффект дает применение отрицательных обратных связей, содержащих апериодическое звено (табл. 10.4).

Характеристика, подобная изображенной на рис. 10.16, может быть получена также при использовании активного дифференцирующего звена, состоящего из операционного усилителя (в режиме дифференцирования), включенного параллельно основному каналу регулирования в соответствии со схемой, изображенной на рис. 10.6.

Рис. 10.16.

Демпфирование посредством поднятия высоких частот или, соответственно, введение упреждения по фазе является универсальным методом, так как позволяет получить требуемый результат практически при любых передаточных функциях исходной системы, в том числе и при наличии в канале регулирования неминимально-фазовых звеньев. Однако это не означает, что данный метод может быть рекомендован для использования во всех случаях. Поднятие верхних частот расширяет полосу пропускания системы, что приводит к увеличению ее быстродействия и. одновременно усиливает влияние на систему высокочастотных помех. При большом уровне помех на входе или в канале регулирования поднятие верхних частот может привести к неприемлемым результатам. Поэтому данный метод демпфирования имеет ограниченную сферу применения. Она определяется, в основном, теми случаями, когда введение положительного фазового сдвига является принципиально необходимым для получения устойчивой работы, а также теми случаями, когда необходимо повысить быстродействие системы при допустимости возрастания влияния высокочастотных помех.

Рис. 10.17.

В некоторых случаях при поднятии верхних частот приходится предусматривать меры одновременного подавления высокочастотных помех путем введения специальных узко- или широкополосных фильтров. Иногда задача может оказаться вследствие этого весьма сложной.

Демпфирование с подавлением средних частот.

Выведение амплитудно-фазовой характеристики из запретной зоны (рис. 10.17) может быть произведено при помощи подавления усиления в области частот, соответствующей отрезку характеристики между точками a и b. В результате будет получена характеристика, изображенная на рис. 10.17 пунктиром.

Подавление средних частот может быть осуществлено включением в цепь регулирования последовательного интегро-дифференцирующего звена

(табл. 10.1), имеющего л. а. х., изображенную там же. Из вида л. а. х. вытекает, что звено подавляет усиление в некоторой области «средних» частот. Вместо пассивного интегро-дифференцирующего звена могут применяться его эквиваленты, например гибкая отрицательная обратная связь, охватывающая инерционный усилитель (табл. 10.4).

По своим свойствам демпфирование с подавлением средних частот занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными методами. При демпфировании с подавлением средних частот сохраняется быстродействие системы и сохраняется полоса пропускания. Этот вид демпфирования является наиболее распространенным.

Демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов.

Сущность этого метода можно уяснить, например, из рассмотрения рис. 6.22. На рис. 6.22, б изображен случай, когда из-за наличия в канале разомкнутой системы консервативного звена, имеющего чисто мнимые полюсы, замкнутая система будет неустойчивой. Добавление отрицательного фазового сдвига вызовет «закручивание» а. ф. х. по часовой стрелке. В результате система в замкнутом состоянии может быть сделана устойчивой (рис. 6.22, а).

Введение отрицательного фазового сдвига производится использованием последовательных корректирующих звеньев фазосдвигающего типа (табл. 10.1). Так как подобные звенья оказываются обычно неминимальнофазовыми, то такой метод демпфирования иногда называют в литературе методом демпфирования с использованием неминимально-фазовых звеньев.

Демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов оказывается эффективным в случае наличия в канале разомкнутой системы консервативных, а также колебательных звеньев со слабым демпфированием. В первом случае это приводит к появлению в амплитудной частотной характеристике (или в л. а. х.) резонансных пиков бесконечной высоты, а во втором — к резонансным пикам конечной, но значительной высоты. Использование демпфирования других типов здесь оказывается затруднительным.

По своим свойствам этот метод демпфирования сходен со случаем подавления средних частот, так как фазосдвигающие звенья обычно не вносят изменений в амплитудную частотную характеристику и модуль их частотной передаточной функции В результате сохраняется быстродействие демпфируемой системы и сохраняется ее полоса пропускания.

Рассмотренные выше методы демпфирования систем регулирования являются основными, но лишь иллюстрируют те идеи, которые используются для повышения запаса устойчивости. В практике, в зависимости от конкретных условий, могут использоваться и более сложные изменения динамических свойств системы регулирования. Так, например, может осуществляться подавление средних частот с одновременным поднятием высоких, поднятие высоких частот с подавлением их некоторой области (фильтрация определенных частот) и т. п.