ГЛАВА 11. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 11.1. Вводные замечания

До сих пор поведение систем автоматического регулирования исследовалось при определенных, заданных во времени задающих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д.).

Однако во многих случаях характер воздействия бывает таким, что его нельзя считать определенной функцией времени. Оно может принимать с течением времени самые разнообразные случайные значения. В таких случаях мы можем оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени. Это происходит не потому, что оно неизвестно заранее, а потому, что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени и процесс его изменения с течением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом, появляться одновременно или с любым сдвигом во времени И т. д.

Возьмем, например, систему автоматического регулирования напряжения электрического генератора. Возмущающее воздействие здесь является результатом изменения нагрузки в сети, зависящей от включения, выключения и изменения режима работы множества потребителей электрической энергии.

Другой пример — автопилот. На него действуют обычно возмущающие воздействия случайного характера: порывы ветра и изменения других атмосферных факторов, изменение тяги, изменения напряжения питания усилителей и рулевых машинок и т. д.

Третий пример — следящие системы, на вход которых попадают вместе с полезным сигналом помехи. Например, в радиолокационной системе сопровождения отраженный от цели сигнал содержит в себе помехи в виде многочисленных флуктуаций, происходящих от вибраций и поворотов цели, замирания сигнала и т. п.

Аналогичные помехи случайной природы имеют место в других автоматических устройствах.

В следящих системах не только возмущающие воздействия и помехи являются случайными, но и сам полезный сигнал, который должен воспроизводиться (задающее воздействие), как правило, носит случайный характер.

Прежде чем рассматривать поведение автоматических систем при случайных воздействиях, напомним некоторые сведения о случайных величинах, случайных процессах и об их вероятностных характеристиках.

К категории случайных событий можно отнести такие, точное предсказание протекания которых в каждом отдельном случае оказывается невозможным.

Так, например, если бросать монету, то выпадение герба или цифры будет случайным событием. Если повторить этот эксперимент раз, то можно зафиксировать определенное число выпадений герба и число выпадений цифры Относительная величина называется частотой события выпадения герба, а величина — частотой события выпадения цифры.

Если устремить число экспериментов то частоты событий будут стремиться к некоторому пределу

называемому вероятностью данного события. В рассмотренном случае очевидно, что обе вероятности выпадения герба и цифры одинаковы и равны 0,5.

Вероятность каждого события лежит в интервале

Рис. 11.1.

Если событие является невозможным, вероятность его равна нулю; если событие является достоверным, его вероятность равна единице.

В примере с бросанием монеты рассматривалась дискретная случайная величина, которая могла принимать два фиксированных значения — выпадение герба и выпадение цифры. Существуют случайные величины, которые могут принимать непрерывные значения. Так, например, если рассмотреть стрельбу из орудия (рис. 11.1), то расстояние от орудия до места падения снаряда будет случайной величиной, которая на определенном отрезке может принимать все возможные значения. В этом случае можно говорить о вероятности нахождения случайной величины в некотором интервале от до Таблица 11.1

Вероятностные характеристики дискретных случайных величин.

Чтобы полностью знать дискретную случайную величину, надо иметь следующие данные:

а) все возможные значения, которые она может принимать при данных условиях задачи или опыта;

б) вероятность появления каждого из этих значений.

Так, например, если дискретная случайная величина может принимать конечное число значений и вероятность каждого значения будет соответственно то можно представить так называемый закон распределения случайной величины в виде таблицы 11.1.

При этом должно выполняться условие

Пусть, например, производится опыт бросания игральной кости. Очевидно, что при каждом бросании число выпавших очков, которое представляет собой случайную величину, может принимать одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если кость совершенно симметрична, то вероятность выпадения каждой из этих цифр является одинаковой. Так как число различных значений, которое может принимать случайная величина, равно шести, то из (11.2) имеем

Графически этот закон распределения изображен на рис. 11.2. Он представляет собой равновероятное распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6).

В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме.

Примером аналитического задания закона распределения дискретной случайной величины является часто используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайным величинам, которые теоретически могут принимать все положительные значения от 0 до Примерами таких величин могут служить число пассажиров вагона трамвая, число вызовов на телефонной станции в течение какого-либо определенного отрезка времени, число электронов, попадающих на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т. п. Этот закон записывается следующим образом для целых значений числа

где — вероятность появления значения представляет собой среднее значение данной дискретной величины, полученное по результатам большого числа опытов.

Графически этот закон имеет вид, изображенный на рис. 11.3, причем место максимума зависит от величины .

В качестве одного из примеров рассмотрим функцию , которая может принимать одно из значений +а или —а (рис. 11.4).

Предположим, что среднее число перемен знака в единицу времени этой функции равно и что вероятность перемены знака на интервале не зависит от того, что происходит в остальные моменты времени.

Рис. 11,2.

Рис. 11.3.

Рис. 11.4.

Тогда вероятность перемены знака на интервале составит . Вероятность того, что на интервале не произойдет перемены знака, будет

Если взять два интервала времени то вероятность отсутствия перемены знака на двух интервалах будет равна произведению вероятностей и составит Для трех интервалов она составит и т. д.

Возьмем теперь конечный интервал времени Т, который можно представить в виде Тогда вероятность отсутствия перемены знака на этом интервале можно найти из выражения

Аналогичным образом можно показать, что вероятность одной перемены знака на интервале Т будет вероятность двух перемен знака Следовательно, вероятность х перемен знака на интервале времени Т будет определяться выражением

которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней , где — среднее число перемен знака на интервале времени Т, которое будет наблюдаться при многократном повторении наблюдения.

Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел.

Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величины. Оно определяется из выражения

Так, например, для случая бросания игральной кости

Вообще для равновероятного закона распределения (11.5) превращается в формулу

Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение, подсчитанное по формуле (11.5), дает

Основные свойства среднего значения случайной величины следующие.

1. Для любых случайных величин среднее значение их суммы равно сумме средних значений этих величин:

2. Среднее значение произведения случайных величин, независимых друг от друга, равно произведению средних значений этих величин:

Последняя формула не распространяется на общий случай любых случайных величин.

В виде обобщения понятия среднего значения (11.5) отметим, что выражение

называется моментом порядка случайной величины х. В частности, момент нулевого порядка выражает свойство (11.2), и он всегда равен

единице:

Момент первого порядка есть среднее значение (математическое ожидание) случайной величины (11.5). Момент второго порядка

есть средний квадрат случайной величины.

Часто используется так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины:

Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины , где х — среднее значение. Тогда аналогично формуле (11.6) можно ввести понятие центрального момента порядка

Из формулы (11.7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины.

Если х — случайная величина, — среднее значение этой величины, то величина есть отклонение случайной величины от ее среднего значения. Это отклонение является случайной величиной, как и сама величина х.

Средним отклонением называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения, т. е.

Заметим, что без знака абсолютного значения было бы

Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости

Среднее отклонение случайной величины является уже не случайной величиной, а обычным числом.

Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка

Дисперсия может быть легко вычислена на основании свойства среднего значения:

т. е. она равна разности среднего квадрата и квадрата среднего значения случайной величины. Так как всегда выполняется неравенство , то дисперсия может быть только положительным числом:

Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением случайной величины от среднего значения:

Для рассмотренного выше примера бросания игральной кости

Среднеквадратичное отклонение

Укажем простейшие свойства среднеквадратичных отклонений.

1. При сложении независимых случайных величин

дисперсии складываются:

Поэтому среднеквадратичное отклонение суммы независимых случайных величин

Эта формула часто применяется в измерительной технике и в автоматике для вычисления среднеквадратичных ошибок.

2. Пусть имеется случайных величин

с одинаковыми средними значениями х и с одинаковыми законами распределения. Тогда их среднее арифметическое

тоже будет случайной величиной с тем же самым средним значением но среднеквадратичное отклонение его будет в раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независимых случайных величин):

Например, если производится измерений одной и той же физической величины, то их среднее арифметическое, хотя тоже является случайной величиной, но всегда надежнее (имеет меньшее среднеквадратичное отклонение),

чем каждое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематические ошибки приборов при этом остаются в полной мере в составе среднего арифметического и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.

3. Для случайных величин, независимых и имеющих одно и то же среднее значение х, среднее арифметическое будет при достаточно большом как угодно мало отличаться от среднего значения х (с вероятностью, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же случайная величина. Таким образом, при большом и указанных условиях

Этот закон больших чисел, доказанный П. Л. Чебышевым, имеет первостепенное значение для обработки экспериментальных данных и для учетной статистики.

Рис. 11.5.

Введем теперь понятие интегрального закона распределения. Интегральным законом распределения или функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого значения х. Математически эта формулировка записывается в виде

где — текущее значение случайной величины х. Например, если график закона распределения дискретной случайной величины х имеет вид, показанный на рис. 11.5, а, то график функции распределения для нее будет иметь вид, показанный на рис. 11.5, б. Он показывает, что вероятность того, что величина х получит значение меньше единицы, равна нулю; меньше трех — равна 0,2; меньше четырех — равна 0,6 и т. д. Функция распределения всегда возрастает с увеличением х, причем при наибольшем возможном значении и остается равной единице при всех значениях

Рис. 11.6.

Например, для закона Пуассона (11.3), когда дискретная случайная величина может принимать значения функция распределения

будет иметь вид бесконечной лестницы (рис. 11.6), но не заходящей выше единицы, т. е. при

Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина может принимать все значения в каком-либо заданном ограниченном интервале или все значения от

до Следовательно, функция распределения (интегральный закон распределения) для непрерывной случайной величины будет изображаться непрерывной кривой. На рис. 11.7 показаны оба упомянутых выше варианта.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное числовое значение х, бесконечно мала (например, вероятность попадания центра тяжести снаряда в определенную точку цели). Вероятность же того, что непрерывная случайная величина окажется в некотором промежутке будет иметь конечное значение, а именно:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина содержится в промежутке между будет

Величина

называется плотностью вероятности.

Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной задается не в виде значений вероятности, а в виде плотности вероятности называемой также дифференциальным законом распределения. На рис. 11.8 показаны дифференциальные законы распределения для двух вариантов функции распределения показанных на рис. 11.7.

Рис. 11.7.

Рис. 11.8.

Если бы здесь использовалось то же понятие закона распределения, что и для дискретной случайной величины, то получились бы бесконечно малые ординаты

Выражение означает вероятность того, что случайная величина содержится между

Вероятность того, что случайная величина содержится между значениями определяется формулой

что геометрически выражается заштрихованной площадью на рис. 11.8.

Кроме того, имеет место зависимость

Вся площадь под кривой равна единице:

так как

Формула (11.14) соответствует моменту нулевого порядка. Среднее значение (метематическое ожидание) соответствует моменту первого порядка:

что вытекает из формулы (11.5) как предел суммы.

Моменты высших порядков по аналогии с (11.6) будут

Таким же образом можно вычислить центральный момент порядка

Как и в случае дискретных случайных величин, центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Рассеяние непрерывной случайной величины можно оценивать одним из следующих значений, словесные формулировки которых остаются прежними.

Среднее отклонение (мало удобная для вычислений величина)

Дисперсия (наиболее удобная для вычислений величина)

Среднеквадратичное отклонение

Средневероятным отклонением называется такая величина, при которой отклонения имеют одинаковую вероятность.

Рассмотрим простейшие типовые законы распределения непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение случайной величины на определенном участке характеризуется плотностью вероятности и функцией распределения показанными на рис. 11.9. При этом на основании свойства (11.14) имеем

Подсчитаем характерные значения. Среднее значение (математическое ожидание)

Рис. 11.9.

Среднее значение квадрата случайной величины (момент второго порядка)

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

Средневероятное отклонение 1

Максимально возможное отклонение случайной величины от среднего значения в данном случае будет

2. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин (закон Гаусса). Этот закон имеет вид

где — среднеквадратичное отклонение, математическое ожидание случайной величины.

График для этого закона изображен на рис. 11.10. Он имеет типичную «колоколообразную» форму.

Рис. 11.10.

Анализ условий возникновения нормального распределения показывает, что оно имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина характеризует собой суммарный эффект большого числа независимых Цричин. Поэтому нормальное распределение весьма часто встречается на практике.

Для этого закона средневероятное отклонение будет

За максимальное отклонение, которое может иметь место, обычно принимают величину Дтах так как вероятность того, что отклонение будет больше За, очень мала, а именно:

Для удобства расчетов составлены таблицы для единичного нормального закона. Для получения этого закона положим и введем новую относительную переменную Тогда вероятность того, что текущее значение относительной переменной находится в интервале от —а до +а или сама переменная находится в интервале от до определится выражением

Для функции составлены подробные таблицы. В качестве иллюстрации приводится краткая табл. 11.2.

Таблица 11.2. Единичный нормальный закон

Рассмотрим пример пользования таблицей. Пусть имеется некоторая случайная величина х, для которой математическое ожидание , а среднеквадратичное отклонение составляет . Определим, какова вероятность того, что случайная величина лежит в интервале Это означает, что отклонение от математического ожидания должно лежать в интервале Для относительных величин это соответствует неравенству

Таким образом, . По табл. 11.2 определяем путем интерполяции вероятность

Произведем более сложный расчет. Пусть для той же случайной величины необходимо определить вероятность нахождения ее в интервале Так как кривая нормального распределения является симметричной относительно среднего значения случайной величины, то искомая вероятность может быть найдена как половина разности вероятности нахождения случайной величины в интервале вероятности нахождения в интервале — , т. е.

или для отклонений

Перейдя к относительным величинам, получаем в результате искомую вероятность

Характеристические функции.

Введем в рассмотрение функцию связанную с плотностью вероятности взаимным преобразованием Фурье:

Эта функция называется характеристической. Ее основные свойства следующие. Если случайная величина то

Если случайная величина где х и у — независимые величины, то

Для нормального закона распределения (11.21) характеристическая функция будет

По характеристической функции могут быть найдены моменты случайной величины. Разлагая в первой формуле (11.23) в ряд Маклорена, имеем

Из сравнения (11.27) и (11.28) можно получить формулу для момента порядка:

Аналогичным образом можно получить формулу для центрального момента порядка:

Формулы (11.29) и (11.30) могут быть использованы для вычисления моментов.

Векторные случайные величины.

Пусть имеется совокупность случайных величин . Такая совокупность может быть представлена в виде матрицы-столбца. Если физические размерности всех величин одинаковы, то матрица-столбец может быть отождествлена с вектором. При разных размерностях переход к вектору может быть сделан после нормирования (введения весовых коэффициентов).

Пусть, например, имеются две непрерывные случайные величины . Для них может быть введена двумерная плотность вероятности . Если величины независимы, то

Вводится понятие смешанного момента -го порядка, где

и смешанного центрального момента

Если то центральный момент второго порядка имеет особое значение и носит название корреляционного момента:

В случае независимости случайных величин можно легко показать, что корреляционный момент

Иногда употребляется понятие коэффициента корреляции, представляющего собой относительное значение корреляционного момента:

где — дисперсии величин

Для совокупности случайных величин в приближенных расчетах часто ограничиваются заданием матрицы-столбца (вектора) математических ожиданий и матрицы корреляционных моментов

Составляющие корреляционной матрицы показывают степень связи между отдельными случайными величинами, причем На диагонали корреляционной матрицы находятся собственные центральные моменты второго порядка, т. е. дисперсии