ГЛАВА 21. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 21.1. Симметричные одночастотные вынужденные колебания

Проблема определения вынужденных колебаний нелинейных систем вообще является весьма сложной и многообразной. Поскольку принцип наложения решений (суперпозиция) здесь несправедлив, то, вообще говоря, нельзя складывать частные решения при различных внешних воздействиях, найденных по отдельности, а также складывать свободные и вынужденные колебания. Особое нелинейное сложение решений возможно в случае, если решения разделяются по степени медленности протекания их во времени (т. е. по значению возможных частот колебаний), аналогично тому, как это делалось в главе 19. При этом каждое из складываемых решений существенно зависело от другого, а именно амплитуда автоколебаний существенно зависела от величины смещения, характеризующей медленно протекающие процессы. Такого же рода разделение решений для вынужденных колебаний будет рассмотрено ниже, где появится возможность рассмотрения нелинейных двухчастотных колебаний с большой разностью частот.

Не касаясь сложных форм вынужденных колебаний нелинейных систем (хотя их исследование также имеет большое практическое значение), ограничимся в данном параграфе определением одночастотных вынужденных колебаний, когда колебания системы происходят с частотой внешнего периодического воздействия. Форма колебаний, как и прежде, на основании свойства фильтра будет считаться близкой к синусоидальной для переменной х, стоящей под знаком нелинейной функции. При рассмотрении вынужденных колебаний во многих случаях возникают ограничения, накладываемые на амплитуду и частоту внешнего периодического воздействия (зависящие также и от параметров системы) и обусловливающие существование одночастотных вынужденных колебаний в нелинейной системе. Будем их кратко называть условиями захватывания (в указанном широком смысле). Особое значение эти условия приобретают для автоколебательных систем при частотах, близких к частоте автоколебаний и выше.

Итак, пусть имеется некоторая нелинейная автоматическая система, в любом месте которой приложено внешнее синусоидальное воздействие

Пусть уравнение динамики системы приведено к виду

Выполнение условий фильтра (§ 18.2), а также выводимых ниже условий захватывания (где это необходимо) позволяет в первом приближении искать решение для установившихся вынужденных колебаний системы в синусоидальной форме

где искомыми неизвестными постоянными будут амплитуда и сдвиг фазы в то время как частота здесь уже задана выражением (21.1). В отличие от такой типичной постановки задачи можно будет, конечно, в дальнейшем решать и обратную задачу определения потребной частоты или амплитуды В внешнего воздействия по заданной амплитуде вынужденных колебаний и т. п.

Чтобы иметь возможность применить тот же общий подход к решению задачи, который был принят при отыскании автоколебаний, выразим в уравнении (21.2) переменную через х. Согласно (21.1)

Отсюда, принимая во внимание выражение (21.3) для х и выражение для его производной

окончательно получаем

Подставив это выражение в заданное дифференциальное уравнение системы (21.2), получим

Таким образом, неоднородное нелинейное уравнение (21.2) при заданном внешнем воздействии (21.1) и предполагаемой форме решения (21.3) сведено к однородному нелинейному уравнению (21.5), содержащему добавочный член в левой части. Уравнение (21.5) аналогично прежнему уравнению (§ 18.2) и отличается от него только заменой операторного многочлена на новый операторный многочлен, стоящий в (21.5) в квадратных скобках. Применяя при отыскании синусоидального периодического решения «формально тот же метод, что и в главе 18, нужно потребовать выполнения свойства фильтра от этой новой системы.

Заданная нелинейность должна допускать симметричные колебания, т. е. должно выполняться условие

Итак, получив для определения вынужденных колебаний однородное уравнение (21.5), можно, как и в § 18.2, произвести гармоническую линеаризацию нелинейности

где

юричем согласно (21.3)

что, однако, не влияет на результат вычисления и . Поэтому при определении симметричных однозначных вынужденных колебаний можно целиком пользоваться готовыми выражениями для q и приведенными в главе 18, с заменой в них на Таким образом, для каждой нелинейности в общем случае получаются зависимости

а во многих частных случаях (см. главу

В результате из (21.5) и (21.7) получаем характеристическое уравнение для первого приближения

Подставляя сюда чисто мнимое значение что соответствует отысканию синусоидального решения (21.3), получаем

Замечая, что

из уравнения (21.13) находим, что

Возможны два метода дальнейшего решения задачи. Эти методы остаются справедливыми и для нелинейных систем с временным запаздыванием когда выражение (21.14) принимает вид

или другой аналогичный вид, содержащий .

Рис. 21.1.

Графический метод. Для каждого значения частоты при заданных параметрах системы на комплексной плоскости строится кривая (рис. 21.1)

Эта кривая соответствует левой части равенства Правая же часть (21.14) изобразится в виде окружности радиуса В. Пересечение ее с кривой дает решение задачи, причем в точке пересечения по дуге окружности определяется фазовый сдвиг а по кривой — величина амплитуды вынужденных колебаний.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты (рис. 21.2, б) можно получить, если на рис. 21.1 начертить серию кривых при разных постоянных значениях (рис. 21.2, а). Таким же

путем, строя кривые при разных постоянных значениях какого-нибудь параметра к (рис. 21.2, а), можно определить зависимость от любого параметра системы к (рис. 21.2, в), входящего в выражение (21.16) для

Рис. 21.2.

Для отыскания зависимости от амплитуды внешнего воздействия В нужно нанести серию концентрических окружностей разных радиусов В (рис. 21.3, а).

Рис. 21.3.

При этом возможны два случая: 1) когда имеется точка пересечения окружности с кривой при любой величине радиуса В, начиная от нуля, что дает зависимость , например, в виде рис. когда точка пересечения окружности с кривой существует только при значениях радиуса В, превышающих некоторое пороговое значение (рис. 21.3, а), что приводит к зависимости типа рис. 21.3, .

Графическое определение ясно из чертежа. Можно построить зависимость пороговой амплитуды внешнего воздействия от частоты при заданных параметрах системы (рис. 21.3, г) или от любого параметра к при данной частоте (рис. 21.3, д). Последнюю зависимость можно найти с помощью рис. 21.3, а построенного для серии кривых соответствующих различным k.

Рассмотренный второй случай, когда система переходит на одночастотные колебания с частотой только при наблюдается чаще всего в таких нелинейных системах, которые до приложения внешнего периодического воздействия работают в автоколебательном режиме. При этом величина обращается в нуль в том случае, когда частота совпадает с частотой автоколебаний данной системы (рис. 21.3, г). Впор равно нулю обычно также в области отсутствия автоколебаний (область устойчивости равновесия системы, рис. 21.3, д).

Тогда выше кривых на рис. будут лежать значения амплитуды В внешнего воздействия, при которых существует одночастотный режим вынужденных колебаний с частотой (область захватывания), а при значениях, лежащих ниже кривой, будет иметь место более сложное вынужденное движение системы. Это и является определением (пока графическим) условий захватывания, о которых говорилось выше.

В других нелинейных системах может быть как в случае рис. 21.3, б.

Аналитический метод.

Из равенства (21.14) или (21.15) можно получить аналитические выражения для определения амплитуды и сдвига фазы одночастотных вынужденных колебаний нелинейной системы. Для этого выделим вещественные и мнимые части числителя и знаменателя и запишем равенства для модулей и аргументов обеих частей уравнения (21.14) или (21.15);

где — вещественная и мнимая части числителя выражения (21.14) или (21.15), — вещественная и мнимая части знаменателя, т. е. При этом X и соответствуют левой части заданного нелинейного уравнения (21.2), т. е. являются теми же самыми выражениями X и Y, которые применялись при исследовании автоколебаний (§ 18.2), являются новыми выражениями, соответствующими правой части заданного нелинейного уравнения (21.2).

Как видим, выражение (21.17) может, вообще говоря, оказаться довольна сложным алгебраическим уравнением относительно Однако важно то, что это уравнение содержит лишь одну неизвестную которая, следовательно, так или иначе может быть определена. После этого фазовый сдвиг легко вычисляется по формуле (21.18). Напомним, что и при отыскании автоколебаний (глава 18) часто получалось сложное относительно а уравнение но это не вызывало больших затруднений. Действительно, в большинстве случаев интересуются тем, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от частоты и амплитуды внешнего воздействият а также при изменении того или иного параметра системы. Указанные параметры могут входить в уравнение (21.17) более простым образом, чем амплитуда Тогда уравнение (21.17) можно будет разрешить в явном виде относительно любого из этих параметров, а затем, задаваясь разными значениями и вычисляя по найденной формуле рассматриваемый параметр, можно построить искомые зависимости или затем по формуле (21.18) можно также вычислить для каждого случая фазовый сдвиг

Например, возможен следующий простой прием решения уравнения (21.17). Для каждой заданной частоты внешнего воздействия будем задаваться разными значениями и вычислять каждый раз величину

По результатам этих вычислений легко строится график (рис. 21.4), который и представляет собой искомое решение уравнения (21.17).

Что касается условия захватывания, то оно может быть определено аналитически как условие существования вещественного положительного решения для в уравнении (21.17).

Это условие автоматически выявится при построении графика типа рис. 21.4.

Рис. 21.4.

Итак, получены амплитуда и сдвиг фазы вынужденных колебаний для переменной х, стоящей под знаком нелинейной функции. После этого можно подсчитать амплитуду и фазу первой гармоники вынужденных колебаний для любой другой переменной исследуемой системы на основании соответствующих уравнений или передаточных функций звеньев, связывающих эту переменную с переменной х.

Частотный метод.

Пусть нелинейное звено в системе определяется уравнением

Находим для него приближенную амплитудно-фазовую характеристику согласно формулам (18.210) и (18.211). Рассмотрим два случая.

Первый случай. Передаточная функция у замкнутой системы такова, что

где — обратная амплитудно-фазовая характеристика линейной части. Изобразим характеристики на комплексной плоскости (рис. 21.5). Амплитуда вынужденных колебаний величины х определяет точку а частота — точку Е. Из формулы (21.20) и из чертежа (рис. 21.5) находим

откуда амплитуда В внешнего периодического воздействия получает значение

Рис. 21.5.

Перемещая точку D вдоль кривой — , можно найти зависимость величины от В при заданной частоте а перемещая точку Е — зависимость величины от частоты

Второй случай. Передаточная функция у замкнутой системы такова, что

Тогда на основании этой формулы и чертежа (рис. 21.5) получаем

откуда

В других случаях, когда передаточная функция не подходит под частные виды (21.20) и (21.22), построения усложняются.