ГЛАВА 20. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 20.1. Приближенное исследование колебательных переходных процессов

Рассмотрим симметричные относительно оси времени колебательные переходные процессы в нелинейной автоматической системе, которые в первом грубом приближении могут быть описаны затухающей или расходящейся синусоидой с медленно меняющимися во времени показателем затухания и частотой (рис. 20.1).

Прежде чем записать это математически, обратим внимание на два существенных обстоятельства. Для линейных систем, когда показатель затухания и частота пишут

Если же частота со и показатель затухания в процессе колебаний меняются с течением времени, то решение следует записывать в другом виде.

Рис. 20.1.

Во-первых, следует писать и определять текущее значение частоты в произвольный момент времени в виде

причем

где — постоянная (начальная фаза). Существует другой способ, когда полагают при причем согласно (20.2) текущее значение частоты

Однако в данной задаче целесообразно придерживаться первого представления ((20.2) и (20.3)).

Во-вторых, при переменном во времени показателе затухания следует определять текущее значение амплитуды а (рис. 20.1) не в виде как сделано в (20.1), а в виде дифференциальной зависимости

Тогда в случае линейной системы, когда получаем как частный случай

а в случае нелинейной системы, когда меняется в процессе колебаний, текущее значение амплитуды согласно (20.5) будет

т. е. огибающая колебаний (рис. 20.1) состоит из элементарных отрезков, экспонент с непрерывно меняющимся показателем

Итак, будем искать решение для переходного процесса в нелинейной системе как первое приближение в виде

причем искомыми неизвестными будем считать медленно меняющиеся величины .

«Показатель затухания» может характеризовать быстроту не только затухания, но и расхождения колебаний:

т. е. положительным значениям «показателя затухания» соответствуют расходящиеся колебания, а отрицательным — затухающие колебания.

Как уже было сказано, величины и со считаются медленно меняющимися функциями. Однако поскольку постоянные значения могут соответствовать в линейных системах как медленному, так и быстрому затуханию колебаний, то и медленно меняющиеся значения могут характеризовать как те, так и другие процессы.

Формулы гармонической линеаризации нелинейности для рассматриваемого случая будут иметь некоторую особенность по сравнению с прежними. В самом деле, если величина показателя затухания не мала, то, дифференцируя выражение (20.7) по времени, как произведение двух функций, с учетом (20.8) находим

Отсюда и из (20.7) получаем

Поэтому первая «гармоника» (затухающая или расходящаяся) нелинейной функции при вместо (18.6) здесь будет

где

Здесь в общем случае коэффициенты гармонической линеаризации будут зависеть от трех неизвестных: . Если же рассматривается нелинейность как чаще всего бывает, то q и сохраняют прежний вид:

и в этом случае можно целиком использовать материал главы 18 в виде готовых выражений для различных конкретных нелинейностей, учитывая, однако, новую форму (20.12) замены нелинейной функции.

В случае нелинейных систем первого класса дифференциальное уравнение колебательного переходного процесса

при наличии свойства фильтра (§ 18.2) после гармонической линеаризации согласно (20.12) принимает вид

Колебательный процесс в линейной системе, описываемый решением (20.1), соответствует паре комплексных корней характеристического уравнения с постоянными значениями . Аналогично и колебательный процесс в нелинейной системе, описываемый приближенно формулами (20.7) и (20.8), определяется медленно меняющимися значениями которые можно находить путем определения пары комплексных корней характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы (20.16).

В соответствии с этим в характеристическое уравнение

подставим для определения значений , удовлетворяющих этому уравнению. В результате получим

Подстановку значения вместо в любой многочлен удобно выполнять путем разложения его в ряд по степеням например:

где индекс означает, что в выражения производных надо подставить вместо . По такой же формуле разлагается в ряд и многочлен

При малых значениях (для медленно затухающих процессов) вместо (20.19) удобнее применять разложение по степеням , ограничиваясь его первой степенью, а именно:

где индекс означает подстановку вместо в выражения для производных.

В комплексном уравнении (20.18) содержатся три неизвестные , причем последняя входит в q и Поэтому указанное комплексное уравнение позволяет найти две переменные как функцию третьей:

т. е. изменение показателя затухания и частоты со с изменением амплитуды а затухающего или расходящегося колебательного процесса в нелинейной системе.

Когда функции (20.21) найдены, можно, пользуясь двумя дифференциальными уравнениями первого порядка (20.8), найти для первого приближения искомого решения нелинейного уравнения (20.15) в форме (20.7). Интегралы уравнения (20.8) имеют при заданных начальных условиях следующие выражения:

где — найденные ранее функции (20.21). Из первого уравнения (20.22) определяется , а из втогого — после подстановки в него а из первого. В результате получаем решение

Операция интегрирования (20.22) во многих случаях для оценки качества переходных процессов в автоматических системах не нужна. В большинстве случаев вполне достаточно бывает ограничиться нахождением функций (20.21) из комплексного алгебраического уравнения (20.18), так как качество симметричного колебательного переходного процесса вполне может быть охарактеризовано величинами и их отношением а также характером их изменения в зависимости от амплитуды колебаний и от параметров системы.

Рис. 20.2.

Это достигается построением так называемых диаграмм качества затухания симметричных нелинейных колебаний. Диаграмма на рис. 20.2 представляет собой семейство линий и линий на плоскости с координатами , причем к означает какой-либо из основных подлежащих выбору параметров системы (коэффициент усиления или др.).

Для линейной системы линии в тех же координатах имели бы вид вертикальных прямых, так как показатель затухания и частота колебательных переходных процессов в линейной системе не зависят от величины амплитуды колебаний а, а меняются только с изменением параметров системы (в данном случае к). В нелинейной же системе эти линии искривляются (рис. 20.2) или просто наклоняются в зависимости от формы нелинейности и от общей структуры системы. Это выражает собой изменение показателя затухания

и частоты со нелинейных колебательных переходных процессов с изменением величины амплитуды колебаний а.

Значение соответствует отсутствию затухания, т. е. сохранению с течением времени постоянной амплитуды а. Например, точке С (рис. 20.2) соответствуют колебания с постоянной амплитудой (автоколебания). Поэтому линия на диаграмме качества (рис. 20.2) представляет собой не что иное, как зависимость амплитуды автоколебаний от параметра системы к, которая определялась в главе 18. По одну сторону от этой линии лежат линии а по другую — Первые соответствуют расходящимся колебаниям, а вторые — затухающим.

Протеканию переходного процесса во времени соответствует движение изображающей точки М по вертикали (так как амплитуда а в переходном процессе меняется, а коэффициент усиления к сохраняется постоянным), как указано на рис. 20.2 пунктиром и стрелками. Например, значению к в точке соответствует вертикальная прямая Поскольку эта прямая пересекает линии только с отрицательными значениями , то колебания в переходном процессе будут затухать, т. е. изображающая точка М будет двигаться из некоторого начального положения (где задана начальная амплитуда вниз. Процесс изменения амплитуды во времени показан на рис. 20.3, а.

Изменение частоты определяется при этом по соответствующей вертикали на нижней части рис. 20.2.

Рис. 20.3.

В том случае, когда параметр к в исследуемой системе имеет значение, соответствующее точке Е (рис. 20.2), получается два варианта протекания переходного процесса. Если начальное положение изображающей точки будет ниже точки то т. е. колебания расходятся и изображающая точка идет, как показано стрелкой на прямой асимптотически приближаясь к точке С. Это соответствует процессу изменения амплитуды колебаний во времени, изображенному на рис. 20.3, б. Если же , то и изображающая точка пойдет по прямой вниз (рис. 20.2), что соответствует затухающему переходному процессу (рис. 20.3, в), асимптотически приближающемуся к автоколебаниям с амплитудой

Процессы, аналогичные этому, будут иметь место при любом значении параметра к правее точки D (рис. 20.2). Следовательно, область значений параметра к, лежащая правее точки является областью существования автоколебаний, к которой сходятся колебательные переходные процессы с обеих сторон (снизу и сверху). При этом положение равновесия системы (любая точка на оси абсцисс) в данной области значений параметра к является неустойчивым, так как колебания в переходном процессе от него расходятся, стремясь к другому устойчивому состоянию — автоколебательному режиму.

Левее же точки D (рис. 20.2) лежат значения параметра при которых переходный процесс затухает от любой начальной амплитуды до нуля. Это есть область устойчивости равновесного состояния системы.

Левее линии (рис. 20.2) лежит обычно область монотонных переходных процессов.

Итак, если диаграммы качества для разных структурных схем какой-либо автоматической системы построены по различным параметрам (k и др.), то они могут служить хорошим материалом для выбора наилучших параметров нелинейной системы при ее проектировании или синтезе. Обратимся теперь к способам построения этих диаграмм. Первый способ. Выделив в уравнении (20.18) вещественную X и мнимую части, подобно тому как это делалось в главе 18, получим два уравнения:

Пусть требуется построить диаграмму качества затухания нелинейных колебаний по некоторому параметру системы к, который входит в коэффициенты уравнений (20.24). Выразив на основании одного из этих уравнений величину

и подставив ее в другое из уравнений (20.24), найдем

Тогда, придавая различные постоянные значения, по (20.26) можно легко построить семейство линий на диаграмме качества (рис. 20.2). Затем, используя (20.25), можно построить также семейство линий

Второй способ. Характеристическое уравнение (20.17) можно записать в развернутом виде:

где все коэффициенты или часть из них являются функциями искомых величин (в простейших задачах только от а). Разложим левую часть уравнения (20.27) на два сомножителя:

последний из которых соответствует основной паре комплексных корней определяющей колебательный переходный процесс в исследуемой системе. Тогда получаем

Первый из сомножителей (20.28) должен иметь значительно большие по модулю корни, чем второй, чтобы колебательное решение, соответствующее искомым корням при принятых начальных условиях, было основным. Коэффициенты разложения (20.28) связаны следующими соотношениями:

Для нахождения величин необходимо, очевидно, в формулах (20.29) выразить коэффициенты через коэффициенты первоначального уравнения (20.27)

В частности, для характеристического уравнения третьей степени

имеем:

Чтобы значения (20.29) определяли основную часть решения, а третий корень уравнения можно было не учитывать, нужно, чтобы

чем определяется верхний предел для значений которые следует брать при построении диаграммы качества.

Составим предпоследний определитель Гурвица:

Но так как из (20.30) и (20.29) следует, что то полученное выше выражение можно записать в виде

Далее, поскольку из (20.30) следует, что

то из (20.29) получаем формулу для квадрата частоты:

Формулы (20.22) и (20.23) позволяют строить диаграммы качества для «истем третьего порядка.

Аналогично для системы четвертого порядка получаем

причем

Здесь требуется соблюдение того же условия (20.31).

Исходя из выражения предпоследнего определителя Гурвица, аналогичным путем находим формулу

где

а затем

Третий способ. Рассмотрим часто встречающийся частный случай, когда коэффициенты гармонической линеаризации q и зависят только от амплитуды а и не зависят от частоты со и показателя затухания , что имеет место для нелинейностей вида . В этом случае после подстановки в характеристическое уравнение выражение (20.18) можно представить в виде

где обозначено:

причем числитель и знаменатель последнего выражения представляют собой, согласно (20.19), многочлены по степеням с коэффициентами, зависящими от .

Задаваясь различными постоянными значениями , построим серию кривых как функции от при аналогично тому, как обычно строятся амплитудно-фазовые характеристики линейной части системы. На том же графике (рис. 20.4) нанесем линию. Точки пересечения ее с линиями определяют собой решение уравнения (20.38), а именно для каждого значения в этих точках пересечения получаются соответствующие значения а (по кривой — ) и (по кривой Этим самым определяется качество колебательного переходного процесса при всех заданных параметрах системы, т. е. определяются точки одной вертикали на диаграмме качества (рис. 20.2). Повторив такие же построения (рис. 20.4) для различных значений выбираемого параметра системы к, можно построить и всю диаграмму качества (рис. 20.2).

Способы построения диаграмм качества для систем второго класса и другие применения диаграмм см. в [100]. Там же рассматриваются несимметричные колебательные процессы и скользящие процессы.