ГЛАВА 25. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 25.1. Системы экстремального регулирования

Системами экстремального регулирования называются системы, в которых задающие воздействия, т. е. заданные значения регулируемых величин, определяются автоматически в соответствии с экстремумом (максимумом или минимумом) некоторой функции Эта функция зависит не только от регулируемых величин но и от неконтролируемых параметров системы и времени Поэтому она не является постоянной и заранее известной. Однако изменение функции и смещение экстремальных значений регулируемых величин протекает относительно медленно.

Условием экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных является равенство нулю в точке экстремума частных производных этой функции:

Градиентом функции называется векторная величина

где — единичные векторы осей, по которым отсчитываются величины

В точке экстремума градиент равен нулю;

Задача поиска экстремума разбивается на две:

1) определение градиента;

2) организация движения в точке экстремума.

Для решения как первой, так и второй задачи предложено много способов. Ниже будут рассмотрены только простейшие из них [61]. Обратимся сначала к задаче определения градиента.

Способ синхронного детектирования.

Способ основан на том, что к основным медленно меняющимся величинам добавляются малые гармонические (в общем случае периодические) составляющие;

Величина поступает на синхронные детекторы (рис. 25.1), у которых в качестве опорных величин используются те же переменные составляющие (25.4). Идеальные синхронные детекторы умножают величину на переключающую функцию, представляющую собой прямоугольную волну с периодом и высотой единица. Переключающая функция приближенно может быть заменена синусоидой частоты с единичной амплитудой. Поэтому средние значения выходных величин синхронных детекторов их, приближенно могут быть представлены в виде

Рис. 25.1.

В квазистационарном режиме, когда составляющие меняются медленно по сравнению с поисковым движением величины с точностью до малых высших порядков пропорциональны соответствующим частным производным в точке и, следовательно, определяют в этой точке.

Для доказательства этого разложим функцию в окрестностях точки в степенной ряд:

В последнем выражении значения частных производных соответствуют точке

Выходные величины синхронных детекторов можно представить в виде

Если величины постоянны или меняются настолько медленно, что их изменениями за небольшой период можно пренебречь, то, учитывая очевидные равенства:

выражение (25.6) можно свести к виду

Погрешность метода определяется членом которому соответствует выражение

Величина Ди по отношению к амплитудам имеет порядок малости не ниже третьего, а по сравнению с — не ниже второго. Если частоты выбраны по закону нечетных чисел где то удовлетворяются условия со Тогда

и величина имеет порядок малости не ниже четвертого.

Таким образом, выходные величины синхронных детекторов с достаточной степенью точности можно считать пропорциональными составляющим градиента в точке

Способ производной по времени.

Производная по времени функции определяется выражением

Отсюда следует, что, задавая поочередно скорости изменения и измеряя производную по времени можно наити составляющие градиента (25.3). Некоторым недостатком этого метода является необходимость дифференцирования функции по времени, что сопровождается поднятием уровня высокочастотных помех.

Способ запоминания экстремума.

Этот способ заключается в том, что система совершает вынужденное иди автоколебательное движение в районе экстремума. При достижении экстремального значения оно фиксируется на запоминающем устройстве. Градиент функции определяется затем по разности текущего и экстремального значений

Обратимся теперь к организации движения по направлению к экстремуму. Рассмотрим несколько возможных способов.

Способ Гаусса — Зайделя.

Способ заключается в поочередном изменении координат Сначала фиксируются все координаты а координата изменяется так, чтобы обратилась в нуль соответствующая составляющая градиента Затем изменяется координата при фиксираванных остальных координатах до обращения в нуль — и т. д. После изменения координаты обращаются опять к и далее повторяют весь цикл снова. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не будет достигнута точка экстремума

Этот способ не обеспечивает быстрейшего достижения точки экстремума вследствие того, что координаты изменяются не все сразу, а поочередно.

Способ градиента.

В этом способе осуществляется одновременное изменение всех координат так, чтобы обеспечить движение системы в направлении,

близком к мгновенному направлению вектора градиента (непрерывно или дискретно).

В простейшем случае непрерывного безынерционного управления для этого должны реализовываться зависимости

где к — некоторый коэффициент пропорциональности. Заметим, что для получения правильного направления движения должно быть к для случая экстремума-максимума и для экстремума-минимума.

Траектория движения изображающей точки в этом случае оказывается нормальной к поверхности

Уравнения (25.13) соответствуют устойчивому движению экстремальной системы, так как из (25.12) следует

Следовательно, производная функции по времени сохраняет свой знак (больше нуля при и меньше нуля при повсюду, кроме точки экстремума, где эта производная обращается в нуль, что соответствует монотонному сходящемуся процессу.

При шаговом движении реализуются зависимости

где — фиксированные шаги в направлении экстремума.

Для способа градиента характерно плавное движение по направлению к точке экстремума и малый размах колебаний около точки экстремума при шаговом движении.

Способ наискорейшего спуска.

При способе наискорейшего спуска движение происходит по начальному направлению вектора градиента до тех пор, пока производная функции по этому направлению не обратится в нуль. Затем опять определяется направление градиента и происходит движение вдоль этого вектора до обращения в нуль производной от по этому направлению. Процесс [повторяется до достижения точки экстремума.

Этот способ характеризуется быстрым выходом системы в район экстремума, что делает его предпочтительным для начальной стадии движения. В районе экстремума можно использовать другие способы, например способ градиента.

На рис. 25.2 для случая двух регулируемых величин, что соответствует изображены траектории движения для рассмотренных выше способов поиска экстремума [61]. Кривая 1 соответствует способу Гаусса — Зайделя, кривая 2 — способу градиента и кривая 3 — способу наискорейшего спуска.

Рассмотрим теперь пример экстремальной системы для наиболее простого случая, когда .

Пример. На рис. 25.3 изображена схема экстремального регулирования настройки колебательного контура. Полезный сигнал с частотой поступает на параллельный резонансный контур, состоящий из катушки и конденсаторов переменной емкости Конденсатор имеет сравнительно небольшую емкость.

Рис. 25.2.

Рис. 25.3.

Ротор его вращается двигателем с постоянной скоростью, вызывая периодические изменения общей емкости контура, которая является регулируемой величиной.

Общая емкость колебательного контура

где — постоянная составляющая емкости конденсатора — угловая скорость вращения его ротора.

Частота выбирается так, чтобы она была во много раз меньше частоты полезного игнала и больше возможной частоты процесса регулирования.

Двигатель синхронно с вращением ротора конденсатора дает опорную величину в синхронный детектор например, в виде опорного напряжения той же частоты от генератора

Переменное напряжение на колебательном контуре после выпрямления и сглаживания фильтром поступает на вход синхронного детектора. На выходе синхронного детектора формируется сигнал, пропорциональный производной от амплитуды напряжения контура по емкости Этот сигнал после сглаживания фильтром поступает далее на усилитель и двигатель Последний будет вращать ротор конденсатора т. е. изменять регулируемую величину и производить подстройку контура до тех пор, пока производная не станет равной нулю. Всякое изменение частоты сигнала будет вызывать автоматическую подстройку на максимум напряжения на контуре.

В этой системе поиски экстремума по способам Гаусса — Зайделя, градиента и наискорейшего спуска сливаются в один вследствие наличия только одной регулируемой величины (емкости контура).

Нетрудно видеть, что в рассмотренной экстремальной системе получается своеобразная следящая система, ошибкой в которой является производная

. В соответствии с этим структурная схема этой экстремальной системы может быть сведена к структурной схеме следящей системы (рис. 25.4).

Входной величиной является значение емкости соответствующее экстремуму. Это значение связано с частотой полезного сигнала и индуктивностью приближенным соотношением (при пренебрежении влиянием активных сопротивлений)

В контур структурной схемы входят апериодические звенья, соответствующие фильтрам и и интегрирующее звено с замедлением (двигатель ). Результирующая передаточная функция разомкнутой системы

где Т — электромеханическая постоянная времени двигателя, — постоянные времени фильтров.

На рис. 25.4 показано также воздействие от неподавленной переменной составляющей на выходе синхронного детектора и воздействие представляющее собой помеху во входном сигнале.

Как следует из рис. 25.4, исследование динамики рассматриваемой экстремальной системы сводится к исследованию следящей системы. Поэтому здесь применимы все методы, используемые в непрерывных автоматических системах.

Рис. 25.4.

Помимо обычных показателей качества, для экстремальных систем используется еще одна характеристика — потери на поиск.

В установившемся режиме регулируемая величина колеблется около значения, соответствующего экстремуму функции . Вследствие этого среднее значение этой функции отличается от экстремального. Среднее значение разности обусловленное колебаниями поиска в установившемся режиме работы системы, называется потерями на поиск.

Поскольку в точке экстремума первая производная — 0, то разность между (текущим и экстремальным значениями функции можно представить в виде степенного ряда

Здесь частные производные соответствуют точке экстремума, а — отклонение от этой точки. Если в (25.16) можно ограничиться только первым членом ряда, т. е. использовать квадратичную форму, то потери на поиск можно представить в виде

где — средний квадрат отклонения регулируемой величины от значения соответствующего экстремуму.

При гармоническом поиске с амплитудой средний квадрат

В общем случае наличия нескольких переменных потери на поиск определяются суммой

Рассмотрим исследование динамики экстремальной системы при для случая поиска экстремума по способу градиента. Структурная схема для этого случая изображена на рис. 25.5.

Вместо (25.13) здесь будут иметь место более сложные зависимости:

или, в ином виде,

где — передаточная функция, одинаковая для всех каналов.

Рис. 25.5.

Для малых отклонений от точки экстремума разность может быть представлена в виде квадратичной формы;

где

В -мерном пространстве координат поверхность

для экстремума-минимума представляет собой эллипсоид, называемый определяющим эллипсоидом. Поверхность

соответствует определяющему эллипсоиду экстремума-максимума.

В теории квадратичных форм показывается, что для малых отклонений уравнения (25.20) могут быть записаны в виде

где — полуоси определяющего эллипсоида. Знак плюс соответствует минимуму и знак минус — максимуму.

Из (25.25) получаются характеристические уравнения для каналов;

Здесь знак введен в передаточную функцию , которая должна быть положительной для экстремума-максимума.

Таким образом, исследование динамики при сводится к анализу изолированных каналов, которым соответствуют характеристические уравнения (25.26).

Рассмотрим теперь систему с шаговым поиском. На рис. 25.6 изображена схема шагового поиска максимального значения функции . В регулируемом объекте эта функция должна превращаться в напряжение постоянного тока по линейной или иной зависимости. Схема осуществляет поиск максимального значения

Изменение регулируемой величины у осуществляется серводвигателем Д. Работа всей схемы происходит при помощи управления от временного программного устройства, которое в определенной последовательности замыкает свои контакты. Эти контакты пронумерованы цифрами, помещенными рядом. В соответствии с последовательной работой программного устройства рассмотрим работу схемы.

Рис. 25.6.

1-е положение. Замыкается контакт 7, который на короткое время включает конденсатор С. Конденсатор заряжается до значения напряжения Далее при размыкании контакта 1 это напряжение запоминается на конденсаторе. К нему подключен усилитель с большим входным сопротивлением и коэффициентом усиления, равным единице. Выходное напряжение усилителя будет равно запомненному на конденсаторе напряжению

2-е положение. Замыкаются контакты 2. Один из них включает на короткое время силовое реле которое подводит напряжение к реверсируемому серводвигателю Д. В результате регулируемая величина изменится на определенное значение А у, т. е. система сделает один «шаг». Второй контакт 2 также на короткое время подключает к напряжению источника постоянного тока обмотку поляризованного реле Это делается для того, чтобы поляризованное реле запомнило направление шага.

В начале работы схемы положение поляризованного реле РП2 может быть произвольным. Поэтому трехпозиционное силовое реле может включаться в произвольную сторону, и шаг для поиска экстремума делается также в произвольную сторону.

3-е положение. Замыкается на короткое время контакт 5, который включает обмотку реле РП2 на разность напряжений до и после шага. Если напряжение увеличилось после шага, реле РП2 остается включенным в прежнем положении. Если это напряжение уменьшилось, реле РП2 переключится в другое положение и подготовит включение силового реле в следующем цикле в другую сторону.

Это остается справедливым и в том случае, когда контакт реле РП2 включен не наверх, как показано на рис. 25.5, а вниз.

4-е положение. На короткое время замыкается контакт 4, который замыкает конденсатор С и «стирает» записанное (запомненное) на нем напряжение Тем самым схема подготавливается для следующего цикла работы, который протекает аналогично.

На рис. 25.7 изображена структурная схема рассмотренной экстремальной системы. Значение регулируемой величины, соответствующее точке

экстремума, обозначено . В схему введен импульсный элемент соответствующий шаговому характеру работы схемы, и нелинейный элемент Наличие нелинейного элемента вызвано тем обстоятельством, что величина шага системы постоянна и меняется только направление самого шага. Это и обеспечивается нелинейным элементом с идеальной релейной характеристикой.

Серводвигатель совместно с регулирующим органом, изменяющим значение регулируемой величины, представлен в виде некоторой непрерывной части . Непрерывным звеном является также сам объект регулирования .

Процессы в данной экстремальной системе могут изучаться при помощи моделирования структурной схемы (рис. 25.6). Могут использоваться также аналитические методы исследования нелинейных импульсных систем.

Как следует из структурной схемы, в системе весьма вероятны автоколебания около точки экстремума. Это объясняется тем, что звено с идеальной релейной характеристикой при малых входных сигналах имеет коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности. Поэтому и этой схеме будут присущи потери на поиск в соответствии с формулой (25.17).

Рис. 25.7.

Рис. 25.8.