86. Условие трансверсальности.

При рассмотрении естественных условий мы считали, что конец экстремали может перемещаться по прямой или параллельной оси у. Положим теперь, что он может перемещаться по любой заданной линии на плоскости

Для определенности будем считать, что левый конец закреплен, а правый может перемещаться по . Рассуждая, как и раньше, мы докажем, что если некоторая кривая дает экстремум интегралу, то она должна удовлетворять уравнению Эйлера, т. е. быть экстремалью. Первая вариация должна обращаться в нуль: слагаемое, содержащее знак интеграла, будет равно нулю в силу уравнения Эйлера, а внеинтегральный член при будет равен нулю в силу условия закрепления конца. Таким образом, равенство нулю первой вариации приводит нас к следующему условию на подвижном конце:

где - проекции на координатные оси бесконечно малого перемещения вдоль кривой . Если бы мы считали оба конца подвижными, то получили бы на обоих концах предельное условие (138). Достаточно повторить предыдущее рассуждение, помня, что если кривая дает экстремум интегралу при подвижных концах, то тем более она дает экстремум при неподвижных концах или при неподвижном одном конце.

Обозначая через угловой коэффициент касательной к кривой , можем переписать условие (138) в виде

Мы видим, таким образом, что это условие, называемое обычно условием трансверсальности, устанавливает связь между угловым коэффициентом у касательной к экстремали и угловым коэффициентом касательной к кривой Я в каждой точке этой кривой. Если уравнение Я задано в неявной форме то условие трансверсальности может быть переписано в виде

Рассмотрим условие трансверсальности в трехмерном пространстве. Основной интеграл будет иметь вид

Принимая во внимание формулу и рассуждая совершенно так же, как и выше, мы получим, что если один из концов может двигаться по заданной поверхности S, то на этом конце должно быть выполнено условие трансверсальности:

где — составляющие бесконечно малого перемещения вдоль поверхности S. Написанное условие равносильно тому, что коэффициенты при должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали к

Если уравнение поверхности дано в неявной форме то условие трансверсальности (142) записывается, очевидно, в виде

Оно дает нам два соотношения, связывающих . Эти соотношения заменяют два условия в случае закрепленного конца.

В общем случае интеграла (137) экстремаль представляет собой линию в -мерном пространстве и если ее конец может двигаться по заданной гиперповерхности

, то на этом конце должно быть соблюдено следующее условие трансверсальности:

или

Отметим один частный случай. Положим, что основной интеграл имеет вид

что соответствует задаче геометрической оптики. Покажем, что в этом случае условия трансверсальности (145) совпадают с условием ортогональности, т. е. с тем условием, чтобы экстремаль была нормальна поверхности S. Подставляя в условие и производя очевидные сокращения, получим:

Но пропорциональны направляющим косинусам касательной к экстремали, а частные производные от пропорциональны направляющим косинусам нормали к S, и написанные равенства выражают указанное выше условие ортогональности. Аналогичное обстоятельство будет иметь место и для интеграла

в плоском случае, только вместо поверхности S мы будем иметь линию на плоскости

Заметим еще, что если мы в интеграле (141) перейдем к параметрической форме уравнения кривой так что подынтегральная функция будет иметь вид , то, как нетрудно проверить, условие (145) записывается в виде