6.4.2. Многозначные решения при оценке параметров скользящего среднего методом моментов

При оценке в разд. 3.3  параметров  в модели  приравниванием ковариаций мы нашли, что решение неоднозначно. Каждой комбинации корней соответствует линейное представление, но только одна такая комбинация дает обратимое представление через прошлое процесса.

Например, рассмотрим процесс  для

и положим, что  и  известны, и мы хотим найти  и

Так как

                          (6.4.3)

то

,

и если  — решение для данных  и , то имеется решение . Тогда очевидно, что для данных  и  существует пара возможных процессов

и

                                                                               (6.4.4)

с . Если , то (6.4.4) не является обратимым представлением.

Однако модель можно представить как

Тогда после подстановки

модель принимает вид

,                                                                                 (6.4.5)

где  имеет ту же дисперсию, что и . Поэтому (6.4.5) — это возвратный процесс, взаимный прямому процессу

.                                                                                 (6.4.6)

Точно так же, как импульс  в (6.4.6) представим в виде сходящейся суммы текущего и предыдущих значений

,

импульс  в (6.4.5) представим как сходящиеся суммы текущего и будущих значений

.

Следовательно, корень  действительно создает обратимый процесс, но только если допустимо представление импульса  через будущие значения .

Область обратимости, показанная в табл. 6.1, ограничивает допустимые значения параметров при условии, что мы выражаем импульсы в терминах прошлого.