7.2.4. Общий алгоритм наименьших квадратов для условной модели

При анализе длинных рядов мы нередко используем приближение, заключающееся в приравнивании начальных значений , а следовательно, и  их безусловным математическим ожиданиям, т. е. нулю, и затем в непосредственном использовании прямой рекуррентной формулы. Так, в предыдущем примере можно использовать уравнения

В результате в ряды  и  вносится переходный процесс, Для ряда  этот процесс затухает несколько медленнее, так как  зависит от . В качестве иллюстрации этим способом были вычислены значения  и  для рассмотренного примера. Оказалось, что, хотя в начале имеются расхождения, начиная с  для  и с  для  два знака после запятой совпадают. В некоторых примерах, где имеется большой объем данных (скажем, 200 и более наблюдений) за счет некоторой потери информации (отбрасывания примерно 20 первых вычисленных значений) можно добиться очень высокой точности.

Если мы примем описанное выше приближение, то придем к интересному общему алгоритму для этой условной модели. Общая модель может быть представлена в виде

,

где  и

Таблица 7.10. Пример рекуррентного расчета производных для данных ряда

Если начальные приближения для параметров  равны , то

и

где

,                                                                             (7.2.9)

.                                                                           (7.2.10)

Значения  и  можно вычислять рекуррентным образом, положив начальные значения  и  равными нулю, а именно

,                                          (7.2.11)

,                                        (7.2.12)

.                                                                                                        (7.2.13)

В соответствии с (7.2.1) приближенное уравнение линейной регрессии принимает вид

                                                                           (7.2.15)

Получаемые отсюда поправки — это коэффициенты регрессии  на  и . Прибавляй поправки к приближениям , получаем «вторые приближения» и заменяем ими первые во второй итерации, в которой вновь вычисляются значения ,  и  до тех пор, пока результаты не начнут сходиться.

Другой вариант алгоритма. Выражение (7.2.15) можно также представить в виде

т. е.

,                               (7.2.16)

 что является другой трактовкой этого алгоритма.

Приложение к процессу ПСС. Чтобы проиллюстрировать расчеты для приближения с помощью условной модели, рассмотрим оценки наименьших квадратов для  ряда , основанные на модели :

с

Расчет для начальных значений  и  приведен в табл. 7.11.

Таблица 7.11. Нелинейная оценка , и  для процесса ПСС

Первые поправки  и  были найдены «регрессией»  на  и , затем процедура повторялась до тех пор, пока не была достигнута сходимость. Результаты итераций показаны в табл. 7.12; использовались начальные значения  и .