5.4.5. Прогнозирование процесса (1, 0, 1)

Способ разностного уравнения. Рассмотрим стационарную модель

Прогнозы легко вычисляются из

        (5.4.18)

Прогнозы спадают к среднему, как члены геометрической прогрессии, аналогично процессу авторегрессии первого порядка, но прогноз на один шаг изменен введением множителя, зависящего от . Веса  равны

отсюда, используя (5.2.5), получаем правило для подправления прогнозов с упреждением 1, 2,…, по значениям предыдущих прогнозов с упреждением 2, 3, ...,:

Проинтегрированное представление. Эвентуальная прогнозирующая функция для всех  — это решение уравнения  т. е.

но

и отсюда

      (5.4.19)

Следовательно, прогноз отклонения с упреждением  экспоненциально затухает от своего начального значения, полученного линейной интерполяцией между предыдущим отклонением прогноза на шаг вперед и текущим отклонением. Когда , прогноз для всех упреждений принимает знакомый вид экспоненциально взвешенного среднего, и (5.4.19) становится равным (5.4.3).

Веса, приданные предыдущим наблюдениям. Веса , а значит, и веса, приданные предыдущим наблюдениям для получения прогнозов на шаг вперед, равны

Заметим, что сумма весов для этого стационарного процесса равна , а не 1. Если бы  было равно 1, процесс стал бы нестационарным процессом ПСС(0,1,1), сумма весов равнялась 1, а поведение генерируемого ряда не зависело от уровня .

Например, к ряду  будет позднее подогнан процесс (1,0,1) с  и , и, следовательно, веса будут равны  с суммой 0,75. Прогнозы (5.4.19) очень медленно спадают к среднему и для малых упреждений практически неотличимы от прогнозов, получаемых из процесса ПСС(0,1,1) для модели ,  для которой веса равны  с суммой 1. Последняя модель имеет то преимущество, что не привязывает процесса к фиксированному среднему значению.

Функция дисперсии. Так как веса  даны выражением

отсюда вытекает, что функция дисперсия равна

      (5.4.20)

и асимптотически растет до значения