Приложение П5.1. Корреляция между ошибками прогноза

П5.1.1. Автокорреляционная функция ошибок прогноза, сделанных в различные моменты времени

Хотя справедливо, что для оптимального прогноза ошибки прогноза с упреждением 1 некоррелированы, это, вообще говоря, не верно для прогнозов с большим упреждением. Рассмотрим прогнозы для упреждения , сделанные в моменты  и , где — положительное целое число. Тогда, если , ошибки прогноза не будут содержать общих компонент; однако для некоторые из  будут входить в ошибки обоих прогнозов. Конкретно

Рис. П5.1. Корреляция между различными ошибками прогноза для ряда С. а — автокорреляций ошибок прогноза ряда С для различных моментов с упреждением , б — корреляция между ошибками прогноза ряда С для одного и того же момента  при упреждениях 3 и

и для  автоковариация ошибок прогноза с упреждением  для задержки  равна

                                                 (П5.1.1)

где  Соответствующие автокорреляции равны

                  (П5.1.2)

В гл. 7 будет показано, что ряд С (рис. 4.1) хорошо описывается моделью  Для иллюстрации формулы (П5.1.2) мы вычислили автокорреляционные функции ошибок прогноза для упреждения  в этой модели. В разд. 5.2.2 было показано, что веса  для этой модели равны 1,80; 2,44; 2,95, 3,36; 3,69. Отсюда автоковариация для задержки 1 равна

Делением на  получаем . Первые 6 автокорреляций приведены в табл. П5.1 и на рис. П5.1, а. Как ожидалось, автокорреляции для задержек больше 5 равны нулю.

Таблица П51. Автокорреляции ошибок прогноза с упреждением 6 для ряда С

П5.1.2. Корреляция между ошибками прогноза в один и тот же момент времени при разных упреждениях

Положим, что мы сделали серию прогнозов для различных упреждений в один и тот же момент . Тогда ошибки таких прогнозов будут коррелированы. Для ... имеем

так что ковариация между прогнозами на момент  с упреждениями  и  равна  где . Отсюда коэффициент корреляции между ошибками прогноза на момент  с упреждениями  и  равен

                              (П5.1.3)

Для того чтобы проиллюстрировать формулу (П5.1.3), мы вычислили для прогнозов ряда С, сделанных в один и тот же момент, корреляцию между ошибкой прогноза с упреждением 3 и ошибками с упреждениями . Например, пользуясь (П5.1.3) и весами  из разд. 5.2.2, получаем

Корреляции для упреждений  приведены в табл. П5.2 и на рис. П5.1, б.

Таблица П5.2. Корреляция между ошибками прогноза с упреждением 3 и упреждениями , сделанными в один и тот же момент времени (ряд С)

Как и ожидалось, прогнозы, сделанные на один и тот же момент времени с различными упреждениями, сильно коррелированны.