5.4. Примеры прогнозирующих функций и их подправления

Рассмотрим теперь прогнозирующие функции для некоторых специальных случаев общей модели АРПСС. Мы представим их тремя различными способами, обсуждавшимися в разд. 5.1.2. Как уже отмечалось, легче всего вычислять прогнозы при помощи разностного уравнения. Другие формы представления полезны, так как помогают лучше понять в конкретных случаях природу прогнозирующей функции.

5.4.1. Прогнозирование процесса ПСС(0, 1, 1)

Модель этого процесса .

Способ разностного уравнения. Для момента  модель можно представить в виде

Беря условные математические ожидания при известном до момента  прошлом, получаем

        (5.4.1)

Следовательно, для всех упреждений прогнозы в момент будут следовать прямой линии, параллельной временной оси. Пользуясь тем, что , можно записать (5.4.1) одним из двух удобных способов.

Первый из них

             (5.4.2)

где . Он говорит о том, что, если наш предыдущий прогноз  отличается от фактического значения на , мы должны подправить его на . Напомним, что, согласно разд. 4.1.3,  указывает долю данного импульса  , входящую в «уровень» процесса. Поэтому разумно увеличить прогноз на часть  от , которая, как мы ожидаем, войдет в «уровень».

Второй способ записи (5.4.1) имеет вид

       (5.4.3)

Видно, что новый прогноз — это линейная интерполяция по аргументу  между старым прогнозом и новым наблюдением. Выражение (5.4.3) ясно показывает, что если  очень мало, мы в основном полагаемся на взвешенное среднее данных о прошлом и почти пренебрегаем новым наблюдением . Напротив, если , данные прошлого полностью игнорируются, и прогноз на все будущие времена равен текущему значению. При  мы скорее вводим экстраполяцию, чем интерполяцию, между  и . Ошибка прогноза в (5.4.2) должна увеличиться, что показывает изменение в прогнозе.

Прогнозирующая функция в проинтегрированном виде. Эвентуальная прогнозирующая функция — это решение уравнения . Отсюда , и, так как , этим обеспечивается прогноз для всех упреждений, т. е.

                     (5.4.4)

Для любого фиксированного момента  — константа, и прогнозы для всех упреждений будут следовать прямой линии, параллельной временной оси. Однако коэффициенты  будут скорректированы, когда станут доступными новые наблюдения, и момент , в который делается прогноз, сдвинется вперед. Поэтому прогнозирующую функцию можно трактовать как полином нулевой степени от упреждения  с коэффициентом, скорректированным в соответствии с положением исходной точки .

Так как проинтегрированное представление модели имеет вид

то

Отметим также, что , отсюда регулируемый коэффициент  может быть скорректирован при переходе от момента  к , согласно формуле

                                                           (5.4.5)

Прогнозы как взвешенное среднее предыдущих наблюдений. Поскольку для этого процесса веса  в (5.3.8) являются также весами прогноза на один шаг вперед, мы можем записать

               (5.4.6)

Отсюда для модели ПСС(0, 1, 1) прогноз для всех времен в будущем — это экспоненциально взвешенное скользящее среднее настоящего и предшествующих значений.

Рис. 5.6. Часть ряда  с прогнозами на моменты = 39,40,41, 42, 43 и 79.

Пример. Прогнозирование ряда . В гл. 7 будет показано, что ряд  хорошо описывается моделью

На рис. 5.6 показаны прогнозы в точках = 39, 40, 41, 42 и 43, а также в точке =79 для упреждений 1, 2,…, 20. Веса, которые для этой модели являются весами прогноза для любого упреждения, даны в табл. 5.5.

Эти веса для прогноза  показаны на диаграмме в верхней части рис. 5.6

Таблица 5.5. Веса прогноза, на которые умножаются предшествующие значениядля любого упреждения (веса использованы при прогнозировании ряда  с помощью модели )

Функции дисперсии. Поскольку для этой модели , выражение (5.1.16) для дисперсии прогноза с упреждением  будет

                                                                           (5.4.7)

Значение оценки , соответствующей ряду, было подставлено в формулу (5.4.7); с ее помощью были рассчитаны 50- и 95%-ные вероятностные пределы, показанные на рис. 5.6 (для момента = 79).